В ЕГЭ, как и в ОГЭ, как бы их не ругали, есть очень жизненные и полезные задачи. Например, задачи про кредиты и ипотеку. Удивительно, но именно их, как правило, не могут решить те, кто уже закончил школу.
Сегодня разберу одну из таких задач. Она, кстати, любопытна не столько для тех, кому придётся сдавать, сколько для тех, кто берёт ипотеку. Для понимания того, где и сколько вы переплачиваете.
Семья Ивановых взяла ипотечный кредит на покупку квартиры. Сумма кредита (тело кредита) — 3 000 000 рублей. Кредит выдан на 15 лет (180 месяцев) под 8% годовых. Проценты начисляются на остаток долга. Платежи — аннуитетные, то есть равные ежемесячно.
Всё максимально приближено к реальной жизни. Вопросы такие:
1. Чему равен ежемесячный платеж?
2. Какую общую сумму семья заплатит банку за 15 лет?
3. Чему равна переплата по кредиту (сумма всех выплаченных процентов)?
4. Сколько процентов от первого платежа идут на погашение тела кредита, а сколько — на уплату процентов?
Четвёртого вопроса в ЕГЭ обычно нет, это вам бонусом от меня, чтобы понять, как устроены платежи.
1. Расчёт ежемесячного платежа
Сейчас пойдёт реальная математика с формулами. Понимаю, что на этом месте большинство бросит читать, но без этого никуда.
Для одинаковых ежемесячных платежей (аннуитета) используется формула: A = K • S, где S — сумма кредита (3 000 000 руб.), а K — коэффициент аннуитета.
Формула коэффициента: K = (i • (1 + i)^n) / ((1 + i)^n - 1), где i — месячная процентная ставка (годовая ставка / 12 месяцев), n — общее количество платежей (месяцев).
Так как годовая ставка равна 8% = 0,08, месячная процентная ставка равна i = 0.08 / 12 ≈ 0.00666667. Подставляем это в формулу для коэффициента K = (0.00666667 • (1 + 0.00666667)^180) / ((1 + 0.00666667)^180 - 1). Не буду грузить вас вычислениями, просто берём калькулятор, считаем всё по действиям и получаем, что K ≈ 0,009556.
Теперь легко найти ежемесячный платёж по кредиту A = 0,009556 • 3 000 000 ≈ 28 668 рублей. Это и есть ответ на первый вопрос.
2. Общая сумма выплат банку
Это просто: ежемесячный платеж умножаем на количество месяцев. Так как Ивановы взяли ипотеку на 15 лет, а в году 12 месяцев, получаем всего 180 месяцев. Значит, общая сумма = 28 668 руб. • 180 месяцев = 5 160 240 рублей.
То есть взяли в ипотеку 3 млн, а за 15 лет отдали банку примерно 5 160 240 рублей.
3. Расчёт переплаты (суммы процентов)
Переплата — это разница между всей выплаченной суммой и телом кредита. По-русски говоря, это разница между тем, сколько отдали денег банку, и тем, сколько денег у банки изначально взяли.
В случае Ивановых переплата составит 5 160 240 руб. – 3 000 000 руб. = 2 160 240 рублей.
Если вдуматься, то это более 72% от первоначального кредита! В этом суть долгосрочных кредитов. Вы очень сильно переплачиваете.
4. Структура первого платежа
А теперь самое интересное. Об этом не говорят в банках и не спрашивают на ЕГЭ. Аннуитетный платёж удобен тем, что ты платишь банку каждый месяц одну и ту же сумму, не нужно ничего пересчитывать, можно настроить автоплатёж и всё. Но структура самого платежка каждый месяц меняется: в начале срока Ивановы (как и все остальные) в основном платят проценты. Смотрите, что получается для первого платежа.
Долг Ивановых перед банком 3 000 000 рублей, которые они взяли месяц назад. Как мы выяснили выше, месячная процентная ставка составляет 0,08/12 = 0,00666667. Значит проценты в первом месяце составят 3 000 000 руб. • 0,00666667 ≈ 20 000 рублей.
Ежемесячный платёж, как мы посчитали в первом пункте, составляет 28 668 рублей, значит в первом платеже на погашение процентов уходит 20 000 рублей, а на погашение основного долга всего 8 668 рублей. То есть 69,7% от отданных банку в первом месяце денег — это плата банку за то, что он дал вам денег, а 30,3% вашего платежа — это погашение долга.
С каждым месяцем доля процентов будет уменьшаться, а доля погашения тела кредита — расти.
Всё, задачу решили, всё посчитали. Но мало получить числа, надо понять, что они означают и как можно их уменьшить или увеличить. Поэтому делаем выводы.
Выводы
Вывод первый состоит в том, что переплата огромна. За кредит в 3 млн на 15 лет при, казалось бы, низкой ставке 8% вы отдаёте банку больше 2 млн рублей чистыми процентами. Это «цена» возможности жить в своей квартире сейчас, а не через 15 лет.
Второй куда более ошеломляющий вывод заключается в том, что в начале срока вы платите в основном проценты. Это объясняет, почему досрочное погашение в первые годы кредита даёт максимальный экономический эффект — вы резко сокращаете самое "дорогое" тело долга, на которое капают высокие проценты. Поэтому если вы хотите переплачивать как можно меньше, в первые годы отдавайте банку всё, что можете. Откажитесь от других дорогих необязательных покупок, отпуска. Отдайте внезапно появившиеся деньги банку сейчас. Сделав это в первые годы ипотеки, вы в итоге сэкономите в разы больше в будущем. Почему это работает, я уже подробно рассказывал одной из своих предыдущих статей, ссылку оставлю в конце.
Третий вывод совсем неочевидный. Есть мнение, что аннуитет психологически удобен, потому что платёж не меняется, но такой кредит сильно дороже дифференцированного (когда платеж каждый месяц уменьшается). На самом деле, разница не так уж и велика. При одинаковой ставке общая переплата по дифференцированным платежам будет, конечно, немного меньше, но первоначальные платежи будут существенно выше, что часто недоступно для заёмщика.
Надеюсь, что на примере этой задачи я смог вам наглядно показать, почему ипотеку нужно подбирать тщательно, по возможности сокращать срок кредита (ставка в формулу входит в степени n) и использовать право на досрочное погашение. А ещё больше надеюсь на то, что мне удалось добавить понимания в вопрос о том, зачем нужна математика в реальной жизни.
В своих уроках я всегда стараюсь обратить особое внимание на такие жизненные задачи, чтобы заинтересовать математикой детей, а ещё у меня есть целый курс по подготовке к ОГЭ. Там всё самое важное с большим количеством примеров. Список всех моих уроков по математике есть в моём Телеграме. Если у вас есть дети-школьники и у них туговато с математикой, загляните. Часто, кстати, мои уроки смотрят сами взрослые, чтобы потом уметь помочь ребёнку, а не нанимать репетитора.