Стоп! Не спеши сокращать корни в этом уравнении из ОГЭ. Очень многие школьники теряют здесь балл из-за одной грубой ошибки. Сейчас покажу, какой, и научу, как её избежать.
Пример 1
Решите уравнение x² - 2x + √(3 - x) = √(3 - x) + 8
Видим одинаковые корни √(3-x) слева и справа. Сократим и получим: x² - 2x = 8.
Найдём корни уравнения: x = 4 и x = -2. Казалось бы, все, решение найдено. Однако мы не имеем права сокращать корни, да и любые другие числа таким способом. Эта ошибка часто ведёт к потере баллов.
Как же нужно?
Перенесем все в левую часть, получим:
x² - 2x + √(3 - x) - √(3 - x) - 8 = 0
С учётом того, что √(3 - x) - √(3 - x) = 0, уравнение примет вид:
x² - 2x - 8 = 0
Выделим коэффициенты: a = 1, b = -2, c = -8. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36. Следовательно, √D = 6.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4
x = (-b - √D) / 2a = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2
Тогда x = 4, x = -2.
Запишем оба этих значения в ответ — и получим неверный ответ!
Почему? Потому что очень удобно избавились от √(3 - x), не задумываясь об ограничениях, которые он вносит.
Выражение под корнем всегда неотрицательно, то есть: 3 - x ≥ 0
Решим неравенство: -x ≥ -3 => x ≤ 3.
Это ОДЗ, то есть Область Допустимых Значений корней, согласно которой x должен быть меньше либо равен трём. Тогда x = -2, подходящий под это ограничение, остается корнем уравнения, а вот x = 4 является посторонним корнем.
Ответ: x = -2.
Пример 2
Решите уравнение x² - 3x + √(6 - x) = √(6 - x) + 28
Перенесем все в левую часть, получим:
x² - 3x + √(6 - x) - √(6 - x) - 28 = 0
С учётом того, что √(6 - x) - √(6 - x) = 0, уравнение примет вид:
x² - 3x - 28 = 0
Выделим коэффициенты: a = 1, b = -3, c = -28. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-28) = 9 + 112 = 121. Следовательно, √D = 11.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (3 + 11) / 2 = 14 / 2 = 7
x = (-b - √D) / 2a = (3 - 11) / 2 = -8 / 2 = -4
Тогда x = 7, x = -4.
Найдём ОДЗ. Выражение под корнем всегда неотрицательно, то есть: 6 - x ≥ 0
Решим неравенство: -x ≥ -6 => x ≤ 6.
Тогда x = -4, подходящий под это ограничение, остается корнем уравнения, а вот x = 7 является посторонним корнем.
Ответ: x = -4.
Алгоритм
Составим алгоритм решения задания, основанный на приведенных решениях:
- Перенести все в левую часть.
- Привести подобные (обычно только с корнями).
- Решить полученное квадратное уравнение.
- Найти ОДЗ (выражение под корнем всегда неотрицательно).
- Записать в ответ соответствующие ОДЗ корни.
Итог
Таким образом, решение подобного уравнения сводится, по сути, к вычислению корней стандартного квадратного уравнения, нахождению ОДЗ и отбору корней согласно этому ОДЗ.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ.
P.P.S. Чаще всего забываешь про ОДЗ в уравнениях (как здесь) или в неравенствах? Напиши в комментариях цифру: 1 — в уравнениях, 2 — в неравенствах. Это поможет мне выбрать тему следующего разбора!
Подпишись, чтобы вместе готовить к ОГЭ за 4 месяца по моему плану.
А если уже почти готов — проверь, знаешь ли обо всем типах задания 20! Они в этой подборке.