С противоположными событиями мы встречались и в предшествующих статьях. Координатная прямая, служившая основным инструментом в этой статье, была удобна, когда события выражались через числовые величины. В общем случае, для событий произвольной природы, удобно использовать другое графическое представление - диаграммы, или круги Эйлера. Каждое событие изображается фигурой, например кругом внутри прямоугольника. Пересечение событий - пересечение фигур, объединение событий–объединение фигур. Площадь фигуры схематично изображает вероятность соответствующего события.
Весь прямоугольник соответствует событию с единичной вероятностью, т.е. прямоугольник - это все исходы эксперимента.
Задача №1
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Решение
Независимость событий A и B означает, что вероятность их одновременного наступления в эксперименте равна произведению их вероятностей:
Для этой задачи полезна формула сложения вероятностей: сумма вероятностей двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус произведение этих вероятностей.
Вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах , равна
Представим решение в виде кругов Эйлера.
Ответ 0,83
Задача №2
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение.
Эта задача уже была решена с помощью дерева случайного эксперимента (оцените какой способ понятней).
Теперь мы решим эту задачу с помощью кругов Эйлера.
Вероятность того, что А. выиграет оба раза равна произведению их вероятностей
Ответ 0,27
Задача №3
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение.
Изобразим три лампы кругами Эйлера. Пересечение трех кругов будет означать, что в течении года все три лампы перегорят. Нам необходимо найти противоположное событие, что не перегорит хотя бы одна лампа.
Найдем вероятность, что все три лампы перегорят:
Найдем вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Это означает, что надо найти противоположное событие
Ответ 0,488
Задача №4
В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Решение
Фломастеры можно выбрать двумя разными экспериментами.
Первый эксперимент: Выбирают сперва синий, затем красный
Второй эксперимент: Выбирают красный, потом синий.
Первый эксперимент
1) Случайны образом вытаскиваем один фломастер. Допустим он оказался синим. Вероятность с которой был выбран синий фломастер равна:
2) Случайны образом вытаскиваем второй фломастер. Допустим он оказался красным. Вероятность с которой был выбран красный фломастер равна:
Поскольку два события независимы, тогда их вероятность будет равна:
Второй эксперимент
1) Случайны образом вытаскиваем красный фломастер (первый фломастер). Вероятность с которой был выбран красный фломастер равна:
2) Случайны образом вытаскиваем синий фломастер (второй фломастер). Вероятность с которой был выбран синий фломастер равна:
Поскольку два события независимы, тогда их вероятность будет равна:
Выполним сложение вероятностей в первом и втором эксперименте
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог