С противоположными событиями мы встречались и в предшествующих статьях. Координатная прямая, служившая основным инструментом в этой статье, была удобна, когда события выражались через числовые величины. В общем случае, для событий произвольной природы, удобно использовать другое графическое представление––диаграммы, или круги Эйлера. Каждое событие изображается фигурой, например кругом внутри прямоугольника. Пересечение событий––пересечение фигур, объединение событий–объединение фигур. Площадь фигуры схематично изображает вероятность соответствующего события.
Весь прямоугольник соответствует событию с единичной вероятностью, т.е. прямоугольник––это все исходы эксперимента.
Задача №1
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Решение
Независимость событий A и B означает, что вероятность их одновременного наступления в эксперименте равна произведению их вероятностей:
Для этой задачи полезна формула сложения вероятностей: сумма вероятностей двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус произведение этих вероятностей.
Вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах , равна
Представим решение в виде кругов Эйлера.
Ответ 0,83
Задача №2
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение.
Эта задача уже была решена с помощью дерева случайного эксперимента (оцените какой способ понятней).
Теперь мы решим эту задачу с помощью кругов Эйлера.
Вероятность того, что А. выиграет оба раза равна произведению их вероятностей
Ответ 0,27
Задача №3
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение.
Изобразим три лампы кругами Эйлера. Пересечение трех кругов будет означать, что в течении года все три лампы перегорят. Нам необходимо найти противоположное событие, что не перегорит хотя бы одна лампа.
Найдем вероятность, что все три лампы перегорят:
Найдем вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Это означает, что надо найти противоположное событие
Ответ 0,488
Задача №4
В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Решение
Фломастеры можно выбрать двумя разными экспериментами.
Первый эксперимент: Выбирают сперва синий, затем красный
Второй эксперимент: Выбирают красный, потом синий.
Первый эксперимент
1) Случайны образом вытаскиваем один фломастер. Допустим он оказался синим. Вероятность с которой был выбран синий фломастер равна:
2) Случайны образом вытаскиваем второй фломастер. Допустим он оказался красным. Вероятность с которой был выбран красный фломастер равна:
Поскольку два события независимы, тогда их вероятность будет равна:
Второй эксперимент
1) Случайны образом вытаскиваем красный фломастер (первый фломастер). Вероятность с которой был выбран красный фломастер равна:
2) Случайны образом вытаскиваем синий фломастер (второй фломастер). Вероятность с которой был выбран синий фломастер равна:
Поскольку два события независимы, тогда их вероятность будет равна:
Выполним сложение вероятностей в первом и втором эксперименте
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог