Задание
Докажите, что при x ∈ [–2; 1) выполняется тождество:
Решение
Тождество содержит функции квадратного корня, логарифма и арксинуса, которые определены не для любого значения своих аргументов, поэтому выясним сначала, при каких значениях x выражение тождества вообще имеет смысл.
а) Выражение, стоящее под корнем, должно быть неотрицательным:
(x + 2)·|x + 2| ⩾ 0
Поскольку модуль числа всегда больше или равен нулю (|x + 2| ⩾ 0), то чтобы произведение (x + 2)·|x + 2| отвечало требованию, нужно, чтобы было
x + 2 ⩾ 0 или x ⩾ –2
Заметим также, что в этом случае |x + 2| = x + 2 и
= |x + 2| – 2 = x + 2 – 2 = x
б) Стоящее под логарифмом выражение должно быть положительным:
1 – x > 0 или x < 1
С учётом такого требования можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством и получить, что
в) Арксинус можно вычислить, если его аргумент находится в пределах от –1 до 1, значит должно быть
–1 ⩽ 2·(x + 2)/3 – 1 ⩽ 1 ⇔
⇔ 0 ⩽ 2·(x + 2)/3 ⩽ 2 ⇔
⇔ 0 ⩽ 2·(x + 2) ⩽ 6 ⇔
⇔ 0 ⩽ x + 2 ⩽ 3 ⇔
⇔ –2 ⩽ x ⩽ 1
Поскольку при –1 ⩽ t ⩽ 1 справедливо равенство sin(arcsin t) = t (см. задание А-54), то при –2 ⩽ x ⩽ 1:
= x + 2 – 2 = x
Установленные в а), б) и в) возможные значения x для корня, логарифма и арксинуса образуют систему неравенств, решением которой будут допустимые x для тождества в целом:
Если теперь обратиться к промежуточным результатам по преобразованию отдельных частей тождества, полученным в а), б) и в), то при x ∈ [–2; 1) будем иметь:
⇔ x·x = (x)² ⇔ x² = x² ⇔ 0 = 0
Полученный результат говорит о том, что исходное тождество справедливо при любых x, при которых его выражение имеет смысл, а это, как уже было установлено выше, полуинтервал [–2; 1).
q. e. d.
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik