Одним из подписчиков сообщества физиков, математиков и разработчиков Physics.Math.Code была предложена интересная задача по математике из раздела тригонометрии. В этой задаче важно не только знание формул, но и понимания соседних тем алгебры и начала анализа. Также задачка будет полезна всем ребятам, кто сейчас готовиться к сдаче экзамена ЕГЭ по профильной математике.
💡 А пока не забудьте подписаться на мой telegram-блог, ведь там очень много интересного по физ-мату и IT 📚
📝 Задача
Преобразовать тригонометрическое уравнение (1) к какому-нибудь квадратному уравнению (1') — уравнению с целочисленными коэффициентами относительно функции
y = f(x) — какой-нибудь простейшей тригонометрической функции.
Какими числами будут его корни xₖ , поделенные на число пи — целыми, рациональными или иррациональными?
Запишите все, которые вам удастся отыскать, решив полученное вами уравнение (1').
Исходное тригонометрическое уравнение таково:
4·cos²(x) + 7·sin(2·x) + 5 = 0 (1)
Решение:
Сперва можно вспомнить формулу для синуса двойного угла sin(2·x) = 2·sin(x)·cos(x), но здесь она мало помогает, пока мы искусственно не раздуем пятерку с помощью основного тригонометрического тождества.
Далее можно сделать несколько преобразований, которые приведут нас к квадратному уравнению относительно y = f(x), где f(x) - та самая простейшая тригонометрическая функция [в нашем случае tan(x)].
Здесь очень важно заметить, что tan(x) имеет ограничения в виде выколотых точек, в которых он скачет в +/- бесконечность. Это и есть разрывы второго рода.
Разрывы второго рода — это точки разрыва функции, в которых хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо стремится к бесконечности.
Область определения функции y = tan(x): множество всех действительных чисел, кроме x ≠ π/2 + πn, n ∈ ℤ.
Решение квадратного уравнения дает два ответа. Их нужно рассмотреть подробнее.
◼ Случай 1. tan(x) = -1
Это табличное значение. Значит если мы поделим корень на π, то получим:
x/π = -1/4 + n, n ∈ ℤ. — это рациональные числа (целое бесконечное множество)
◼ Случай 2. tan(x) = -1.8
Это НЕ табличное значение. Значит если мы поделим корень на π, то получим:
x/π = -1/π · arctan(1.8) + n, n ∈ ℤ. — это иррациональные числа (бесконечное множество). Т.к. арктангенс от рационального числа 9/5 является числом иррациональным. И когда мы делим на π и добавляем целое k, число остается иррациональным.
✍🏻 Интересный факт
Ограничения x ≠ π/2 + πn, n ∈ ℤ. не влияют на решение, т.к. найденные корни никогда не совпадут с точками π/2 + πn, т.к. корни определены, а тангенс в этих точках не определен. В нашем же случае тангенс имеет конкретные значения -1 или -1.8. В итоге ограничения вообще не исключают корни.
Понравилась заметка? Дайте обратную связь в комментариях. Напишите ваше мнение, идеи, мысли 😉
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram