Сегодня разберем с вами классическую задачу по номером # 13 из профильного ЕГЭ по математике. Для решения таких задач вы должны помнить большую часть формул из школьного раздела тригонометрии.
Задача
а) Решите уравнение 8⋅sin²(7π/12 + x) - 2⋅√3⋅cos(2x) = 5
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -5π/2]
Решение:
Скобка (7π/12 + x) не содержит никаких табличных углов, однако, если умножить скобку на 2, то получится довольно полезная компонента 7π/6 = π + π/6. Поэтому нам нужен удвоенный угол, а получить его можно с помощью тригонометрических формул понижения степени.
Далее нам понадобится функция косинуса суммы:
cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).
Теперь надо поставить данные выражения в исходное тригонометрическое уравнение и упростить:
Мы получаем sin(2x) = 1/2. Это дает нам два решения, которые повторяются через 2πk, где k ∈ ℤ
Но дело в том, что нам нужно найти конкретные значения, которые принадлежат промежутку.
И здесь важно сделать рисунок с тригонометрическим кругом для визуализации корней и области, в которой эти корни должны лежать.
Остается подобрать нужные значения k для обоих корней. Сам диапазон в отрицательной области, значит и k, скорее всего, будут подходить только отрицательные.
Можно попробовать найти их устно, но на реальном экзамене я бы посоветовал вам проверить всё на вычислениях:
Получаем ответ в виде общее решение и частные два корня
📚 Малоизвестные математические факты
1. Тригонометрия без гипотенузы. Большинство знакомы с синусом и косинусом в прямоугольном треугольнике. Однако существуют так называемые «верблюжьи» функции, например, верблюжий синус (versine) и гаверсинус (haversine). Они определялись через синус и косинус и были крайне полезны до появления компьютеров.
Гаверсинус был критически важен в навигации для вычисления расстояния между двумя точками на сфере по их координатам (используя формулу гаверсинуса).
2. Формула Эйлера — универсальный ключ. Многие тригонометрические тождества, которые в реальном анализе доказываются долгими и сложными методами, в ТФКП становятся почти очевидными. Например, формула синуса двойного угла:
3. Бесконечные произведения. Синус и косинус можно представить не только в виде рядов, но и в виде бесконечных произведений, что открывает удивительную связь с простыми числами (теоремой Евклида о бесконечности простых чисел).
Формула Валлиса: π/2 = (2/1) ⋅ (2/3) ⋅ (4/3) ⋅ (4/5) ⋅ (6/5) ⋅ (6/7) ⋅ ...
Разложение синуса в бесконечное произведение:
4. Тригонометрические функции от комплексных аргументов. В ТФКП синус и косинус могут принимать значения, выходящие далеко за привычный диапазон [-1, 1] и даже быть больше по модулю, чем любое вещественное число.
sin(i) = i ⋅ sinh(1) ≈ 1.175 ⋅ i (чисто мнимое число!)
cos(i) = cosh(1) ≈ 1.543 (вещественное число > 1)
Понравилась заметка? Дайте обратную связь в комментариях. Напишите ваше мнение, идеи, мысли 😉
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram