Вступление
Натуральные, целые и дробно-рациональные множества чисел не очень-то различаются друг от друга, поскольку каждое из перечисленных множеств является счетным. Если говорить о натуральных числах, то на числовой прямой это эквидистантные точки на луче, направленном, обычно, вправо. Целые числа через равные расстояния располагаются по все числовой оси. Отрицательные (противоположные натуральным) и положительные (натуральные) числа располагаются по разные стороны от нуля. В этом смысле ноль всегда в центре, хотя, конечно, понятие центра для прямой условно.
Самое общее из счетных множество дробно-рациональных чисел позволяет почти без ограничений выполнять сложение, вычитание, умножение и деление. Исключением является деление на ноль. Но следующее по порядку изучения в школе множество тоже не помогает с делением на ноль.
Ограничения применения дробно-рациональных чисел
Операция возведения в степень и обратные ей
Если умножение на одно и то же число нужно провести несколько раз, возникает потребность в еще одной операции — возведении в степень. В реальной жизни операция вполне реальная и подходит для вычисления, например, доходности вложений за 10 лет при известной доходности за один год. Степенью n числа a называют n-кратное умножение a на себя.
С самой операцией возведения в степень никаких сюрпризов нет, если возводить в целую степень. В целую степень можно возвести любое натуральное, целое и дробно-рациональное число. Результатом будет какое-нибудь число из множества дробно-рациональных чисел.
При этом возвести в дробно-рациональную степень не получится, но это не самое неприятное, сложности есть с обратными возведению в степень операциями. Какие есть обратные операции у возведения в степень? Например, в задаче 2^3=8 неизвестным можно положить 2 и 3. Операция поиска основания степени называется корнем, в нашем случае кубическим: sqrt[3](8) = 2. Операция поиска показателя степени называется логарифмом, в нашем случае по основанию 2: log2(8) = 3.
Эти обратные операции далеко не всегда можно выполнить внутри счетных множеств. Например, диагональ квадрата со стороной 1 равна корню квадратному из двух: sqrt(2). Это число невозможно представить в виде дробно-рационального числа точно, можно только находить приближенные к sqrt(2) обыкновенные дроби, но точное значение sqrt(2) выходит за рамки счетных множеств.
Вычисление длины окружности
Одной из простых плоских фигур является круг. Какой будет длина окружности, если ее радиус равен единице? Эту задачу можно решать геометрически, вычисляя среднее периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность и описанных вокруг нее. С увеличением числа граней вписанного и описанного правильных многоугольников увеличивается точность приближенного значения числа 2π=2*3,141592645..., которое определно как отношение длины окружности к ее диаметру.
Это число не представимо в виде обыкновенной дроби.
Вещественные числа
Кроме перечисленных ситуаций есть и другие, когда получается число, не представимое в виде обыкновенной дроби. Такие числа называют иррациональными и вместе с рациональными числами они полностью непрерывно заполняют числовую прямую.
Мощность множества вещественных чисел
Множество вещественных чисел мощнее любого счетного множества, они представляют собой континуум, слово континуум подразумевает непрерывное заполнение всей числовой оси числами. Даже в любом отрезке [a; b] при a<b чисел больше, чем в любом счетном множестве. Более того, нет принципиальной разницы между множеством всех вещественных чисел и множеством вещественных чисел в отверзке [a; b], это легко видеть, есть сделать преобразование y=(a-b)*sigmoida(x)+b, которое обратит любое вещественное x в числа от a до b.
Такая мощность чисел вообще не очень оправдана, потому что никакая численная модель не определена с беконечной точностью. Более того, соглавно квантовой физике, пространство и время не являются непрерывными, так что все физические величины скорее должны представляться очень большими целыми числами.
Тем не менее, вещественные числа очень удобны в работе, потому что с ними намного меньше ограничений в операционном смысле. Так что увеличение множества чисел оказывается оправданным, потому что, удивительно, приводит к упрощению.
Ограничения применения вещественных чисел
Несмотря на то, что вещественные числа охватывают всевозможные числа на числовой прямой, не все операции с ними допустимы. Например, остается запрещенной операция деления на ноль. Кроме того, не получится взять корень четной степени из отрицательного числа, синус или косинус от числа вне отрезка [-1; 1] и другие подобные операции. Думаю, многие знают, что проблема с нулем решается расширением вещественных чисел двумя бесконечностями и понятием предела. Корень квадратный и тригонометрические функции тоже можно взять от любого аргумента, если еще больше расширить понятие чисел.
Заключение
Вещественные числа нужны по меньшей мере для представления геометрических размеров объектов, также они значительно упрощают аналитические исследования, несмотря на обобщение. Множество вещественных чисел мощнее множеств натуральных, целых и дробно-рациональных чисел. При определении вещественных чисел вводятся новые понятия континуумма и непрерываности. При этом континуум содержится в любом отрезке чисел равно как и во всем множестве вещественных чисел.