Ребенок до школы и в первых классах изучает числа, которыми можно посчитать количество предментов одного типа или класса.
Натуральные числа
Сначала родители учат его понятиям "нет" и "есть", например, играя в прятки. Тогда, видимо закладывает восприятие единицы, как наличие чего-то, что-то противоположное отсутствию чего-то, нулю.
На то, чтобы он научился считать до 10, может уйти примерно три первых года жизни. При этом концепция нуля остается скорее неразгаданной, хотя наличие чего-то, понятно, вполне отличается от отсутствия чего-либо. В это же время появляются абстрактные количества в роде "несколько", "много" и "очень много".
Мы в основном пользуемся позиционной десятичной системой счисления, наш выбор обусловлен нашими родителями, а их выбор их родителями, и так далее. Число десять является неплохим основанием для системы счисления, потому что у нас 10 пальцев на руках. Получается, цифры, составляющие числа, можно посчитать по пальцам. Также 10 удобно тем, что это непростое число, делится на 2 и на 5, кроме единицы и себя. Значит, можно примерно неплохо пройти по числам в одном разряде в логарифмическом масштабе: 1, 2, 5, 10. В этом смысле шестнадцатеричная система счисления была бы еще лучше, а большие числа были бы компактнее.
Числа от 10 до 99 в десятичной системе счисления являются двузначными, в таких числах значимость цифры зависит от ее положения (позиционность). Кстати, тут уже закрепляется понятие нуля, который обозначает отсутствие единиц, десятков, сотен и так далее, в зависимости от его расположения в числе. Поняв концепцию построения чисел в позиционной системе счисления, мы можем без труда продолжить увеличивать количество разрядов и пересчитывать все большие количества предметов. Освоение этой идеи занимает у нас немало времени, но так мы узнаем свое первое множество чисел, множество натуральных чисел, и ноль. Ноль не является натуральным числом.
Множество натуральных чисел часто обозначается буквой N. Это очень важное множество, им мы можем все на свете считать, не только реальное, но и абстрактное. Например, множество натуральных чисел можно использовать, чтобы проверить, является ли счетным некоторое множество. Любое множество называется счетным, если все его элементы можно "пронумеровать", поставить каждому его элементу конкретный элемент множества натуральных чисел. Кстати, само множество натуральных чисел, конечно, является счетным.
Операции с натуральными числами
С натуральными числами определены действия, а у этих действий есть свойства.
Самыми простыми действиями являеются операции сравнения, результатом которых является бинарный ответ (истина или ложь). К свойствам сравнения относится, например, то, что из истинности утверждений b > c и a > b следует истинность утверждения a > c.
Более сложной операцией является сложение, которое, например, обладает свойством перестановки, по которому a + b = b + a. Кстати, равенство является самой простой операцией сравнения.
Операция умножения пригождается, когда нужно, например, посчитать количетсво земли землевладельцу. Произведение и площадь тесно связаны друг с другом.
Операции сложения и умножения определены для любой пары натуральных чисел. Но операции вычитания и деления определены не для любой пары натуральных чисел. Правильнее сказать, они не всегда определены внутри множества натуральных чисел. Операция вычитания определена в натуральных числах только тогда, когда уменьшаемое является результатом сложения натуральных разности и вычитаемого. Также и операция деления в натуральных числах определена только тогда, когда делимое является результатом умножения натуральных делителя и частного.
Целые числа
Что не так с операцией вычитания для некоторых натуральных чисел? Представим, что купец ведет бухгалтерию и следит за балансом своих средств. Если купец покупает из своих средств товары и продает их, выручая новые средства, его баланс всегда будет положительным, если изменять в каких-нибудь монетах минимального номинала, то его баланс будет натуральным. Представим себе, чтоб купец берет деньги взаймы под проценты, чтобы вложить их в какое-то дело и выручить средства для себя и для кредитора. В таком случае с его балансом может случиться неприятность: при расчете вычитаемое может оказаться больше уменьшаемого. Здесь и заканчивается юрисдикция натуральных чисел.
Так мы вводим числа, аналогичные натуральным, но со знаком минус, а также 0. Для целых чисел все операции сравнения и действия работают также, как и для натуральных, кроме вычитания, которое теперь становится определенным для всех целых чисел.
Геометрическое представление целых чисел и операции на числовой прямой
Геометрически целые числа можно представить точками на бесконечной прямой на одинаковом расстоянии точек друг от друга. Сначала выбирается на прямой точка, соответствующая нулю, а затем вправо откладываются натуральные числа 1, 2, 3 и так далее, а влево отклываются числа, противоположные натуральным: −1, −2, −3 и так далее. Слово противоположный для чисел вводится с понятием нуля: ноль противоположно себе, а остальные противоположные пары чисел располагаются на числовой прямой от нуля на одинаковом расстоянии, но в разные стороны.
Операции сравнения на числовой прямой можно проиллюстрировать: если одно число правее другого на этой прямой, то оно больше. И наоборот. Операции сложения и вычитания тоже хорошо иллюстрируется на числовой прямой: для прибавления числа нужно шагнуть по прямой вправо столько раз, сколько хотим прибавить, а для вычитания шагать нужно влево.
Кстати, в целых числах уже можно определить операцию вычитания как сложение с отрицательным числом: a + (−b) = a − b. На мой взгляд, на это нужно как можно раньше обращать внимание школьников.
Множество целых чисел счетно
Множество целых чисел Z по мощности равно множеству натуральных чисел, это легко проверить, если пересчитать целые числа: Первым пусть будет 0, вторым -1, третьим 1, четвертым -2, пятым 2, и т.д. Ясно, что так всем целым числам ставится в соответствие натуральное число.
Дробно-рациональные числа
Операция деления ограничена для натуральных чисел и также ограничена для целых чисел. Например, 25 можно поделить на 5, но непонятно, как поделить 25 на 6, если пользоватся только натуральными или даже целыми числами. К тому же в реальной жизни легко представить себе ситуацию, когда можно столкнуться с таким неопределенным делением. Например, когда дети вступают в права наследства родителей, не все объекты собственности удается поделить нацело.
Чтобы разрешить операцию деления для любых целых чисел, нужно добавить еще чисел: все результаты деления любого из целых чисел на любое другое целое число. Так вводится понятие обыкновенных дробей (дробно-рациональных чисел), это числа 1/2, 1/3, 2/3, и так далее. Кстати, и сами целые числа все подпадают под определения дробно-рациональных чисел, потому что представимы в виде частного двух целых чисел.
Дробно-рациональные числа можно по-разному записать. Число 1/2 равно числу 2/4, которое также равно числу 3/6 и так далее. Есть бесконечного количество представлений любого дробно-рационального числа. На этом основано действия сокращения дробей: представление дроби в виде дроби с меньшими числителем и знаменателем.
Кстати, числовая прямая с целыми числами тоже может быть дополнена дробно-рациональными числами, которые появляются в бесконечном количестве между любыми двумя целыми числами. Становится ли множество дробно-рациональных чисел Q мощнее после добавления в него такого большого количества чисел? Нет, их тоже можно пересчитать, если расположить на плоскости, как показано на рисунке ниже.
Таким образом, дробно-рациональные числа можно пересчитать, их множество по мощности равно мощности множества натуральных чисел, хотя и кажется, что они разные.
Заключение
Таким образом, натуральные числа позволяют посчитать любое множество предметов или абстрактных объектов, целые числа позволяют определить операцию вычитания, а дробно-рациональные числа снимают ограничение на операцию деления. Остается, правда, одна проблема: операция деления на ноль остается неопределенной. Вообще необходимость введение новых множеств чисел всегда можно объяснить необходимостью определения операций, которые не определены для данного множества. Ну и практический смысл в этом тоже всегда можно усмотреть.
Множеств чисел гораздо больше и эту историю планирую продолжить.
Продолжение в следующей статье.