Сегодня ночью в нашем любимом чате Physics.Math.Code наткнулся на вопрос подписчика по математике:
«Почему отсюда следует, что квадратичная форма неотрицательная?»
Что ж, в книгах часто бывают записи о том, что это «очевидно», но мы попробуем с вами разобраться что да как.
◼ Во-первых, у читателя может возникнуть вопрос о том, что это вообще такое? Это классический вывод неравенства Коши-Буняковского (иногда называют Коши-Шварца) для скалярного произведения в вещественном векторном пространстве ( частности работает для функций ).
◼ Во-вторых, у нас есть парочка аксиом скалярного произведения, чашка чая, бессонная ночь и внимательное наблюдение о том, что:
1. Билинейность (с учетом симметрии): Из свойств (x, y) = (y, x) и (x, uy+vz) = u(x,y) + v(x,z) следует, что скалярное произведение билинейно и симметрично. Это позволяет раскрывать скобки как в обычной алгебре.
2. Вычисление: (ux + vy, ux + vy) = { Ловкость рук и никакого мошенничества } = (ux, ux+vy) + (vy, ux + vy)
3. Применяем линейности и собираем подобные слагаемые с учётом (x, y) = (y, x)
◼ Начинаем опираться на аксиому (z, z) ≥ 0 и применяем обычную школьную алгебру для исследования полинома второй степени относительно (например) u.
Переходим к доказательству неравенства (x, y)² ≤ (x,x)(y,y)
Отталкиваемся от: A • u² + 2 • B • u • v + C • v² >= 0 для всех u, v ∈ ℝ.
◼ В итоге получаем аксиому неотрицательности: Скалярный квадрат любого вектора u•x + v•y неотрицателен.
✍🏻 Интересный факт: Для пространства функций, где (f, g) = ∫ f(x) • g(x) • dx (на некотором отрезке), это неравенство принимает знакомый вид: [∫ f(x) • g(x) • dx]² ≤ (∫ f(x)² • dx) • (∫ g(x)² • dx)
Понравилась статья? Дайте обратную связь в комментариях. Напишите ваше мнение, идеи, мысли 😉
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram