С полным списком всех статей, опубликованных на канале, можно ознакомиться здесь. Заметки конкретно по начертательной геометрии.
Сегодня поговорим о построении проекций линий, расположенных на поверхности шара. В качестве примера возьмем задачу со страницы 197 из книги: Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина. – 1-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 168 с.: ил.
Несколько замечаний. Первое. Поскольку горизонтальная проекция сферы представлена только половиной окружности, понятно, что линия располагается только на поверхности передней полусферы.
Второе. Если фронтальная проекция линии на поверхности сферы выглядит как отрезок, перпендикулярный вертикальной оси симметрии, тогда горизонтальная проекция этой линии будет окружностью или дугой окружности с центром в центре сферы.
И наоборот, если горизонтальная проекция выглядит как отрезок, перпендикулярный вертикальной оси симметрии (в пространстве эта ось на самом деле параллельна оси Y), то на фронтальной плоскости проекции будет окружность или дуга окружности. Опять же с центром окружности в центре сферы.
Если проекционный отрезок перпендикулярен горизонтальной оси симметрии, неважно, на фронтальной или горизонтальной проекции, тогда профильная проекция линии на шаре будет иметь вид окружности или ее дуги.
Я подробно разбирал это в заметке Точка на шаре для расположения проекции отдельной точки. Ну а линия, как мы помним, это множество точек.
Третье замечание. Если проекционный отрезок пересекает оси симметрии сферы под каким-либо углом, отличным от прямого, другая проекция этой линии будет кривой, которую необходимо построить при помощи последовательных шагов.
В соответствии с этими замечаниями представим фронтальную проекцию линии на поверхности шара в виде трех цветных линий. Красная линия перпендикулярна вертикальной оси симметрии, поэтому ее горизонтальная проекция будет дугой окружности. Зеленая линия — это дуга окружности, значит, ее горизонтальная проекция будет отрезком, перпендикулярным вертикальной оси симметрии. А горизонтальную проекцию синей линии придется строить пошагово.
Радиус окружности, дугой которой будет горизонтальная проекция красной линии, найдем как расстояние от вертикальной оси симметрии до внешнего контура сферы на фронтальной плоскости проекции. Для построения левой части дуги ничего, кроме радиуса окружности, больше не требуется. А вот чтобы закончить построение горизонтальной проекции, необходимо найти точку пересечения вертикальной линии связи правого конца красного отрезка и полуокружности на горизонтальной плоскости проекции.
С красной линией разобрались. Ее фронтальная проекция полностью располагается на верхней полусфере, и никаких вопросов с видимостью горизонтальной проекции красной линии не возникло.
А вот зелёная линия разбивается горизонтальной осью симметрии на две части. Одна часть, она на рисунке более тёмная, будет видима на горизонтальной проекции, а нижняя будет скрыта верхней полусферой. При этом обе части будут принадлежать одному отрезку, перпендикулярному вертикальной оси симметрии и проходящему через правый конец красной линии.
Чтобы построить горизонтальную проекцию зеленой линии, можно не строить перпендикуляр к вертикальной оси симметрии, а начертить вертикальную линию связи от точки пересечения зеленой линии и горизонтальной оси симметрии на фронтальной плоскости до внешнего контура сферы на горизонтальной плоскости проекции. Отрезок от точки пересечения линии связи и внешнего контура до правого конца горизонтальной проекции красной линии — это и будет видимая часть горизонтальной проекции зеленой линии. А точку, до которой надо продлить невидимую часть горизонтальной проекции, найдем, используя линию связи от нижнего конца фронтальной проекции зеленой линии.
Синяя линия также будет иметь видимую и невидимую части горизонтальной проекции. Потому что ее более бледная часть скрыта верхней полусферой.
Прежде всего определим положение концов видимой части горизонтальной проекции. Левый конец на фронтальной проекции располагается на внешнем контуре сферы, значит на горизонтальной проекции эта точка будет на горизонтальной оси симметрии. А правая точка, наоборот, на фронтальной проекции принадлежит горизонтальной оси, значит на горизонтальной проекции эта точка будет располагаться на внешнем контуре сферы.
Крайние точки определили, теперь будем искать промежуточные точки. На фронтальной плоскости проекции строим перпендикуляр к вертикальной оси симметрии. Расстояние от вертикальной оси до внешнего контура сферы задает радиус вспомогательной окружности, дугу которой мы строим на горизонтальной плоскости проекции. Вертикальная линия связи, построенная из точки пересечения перпендикуляра и фронтальной проекции синей линии, пересекается с дугой вспомогательной окружности. Это пересечение дает нам еще одну точку для построения горизонтальной проекции видимой части синей линии. Если что-то непонятно в этом построении, вновь отсылаю к заметке Точка на шаре.
Построим еще один перпендикуляр, еще одну дугу, еще одну линию связи. Получим вторую промежуточную точку. Можно продолжить этот процесс далее. А можно с помощью лекала по полученным точкам построить видимую часть горизонтальной проекции синей линии.
Аналогично будем поступать для определения точек невидимой части горизонтальной проекции синей линии. Начнем с точки, расположенной на вертикальной оси симметрии. Точка невидима, поэтому она не закрашена полностью.
Еще одна точка слева от оси симметрии.
И точка справа от оси симметрии. А теперь опять применим лекало.
Задача решена.
Несколько слов о построении промежуточных точек для проекции синей линии. Никакого жесткого требования о том, сколько таких точек надо построить, не существует. Но есть одно обязательное правило.
Прежде всего, необходимо определить крайние точки различных участков. Для сферы — это точки пересечения проекции линии и осей симметрии и расположение точек на внешнем контуре сферы. Такие точки являются пограничными для изменения математического уравнения кривой, то есть с одной стороны точки кривая описывается одним уравнением, а с другой стороны уравнение меняется. Поэтому для построения сплошной линии кривой бывает необходимо использовать разные участки лекала. Особенно если масштаб изображения достаточно крупный.
А вот дополнительные точки между полученными уже пограничными точками участков можно строить, просто руководствуясь здравым смыслом.
Вот так это будет выглядеть в изометрии.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.