С полным списком всех статей, опубликованных на канале, можно ознакомиться здесь. Заметки конкретно по начертательной геометрии.
В трёхмерном пространстве для однозначного определения расположения точки необходимо задать три координаты. При использовании эпюры Монжа мы говорим, что нам достаточно двух проекций точки для определения ее положения в пространстве. Почему не три проекции, ведь пространство трёхмерное? Дополнительным условием, которое позволяет обходиться только двумя проекциями точки, является расположение оси X на эпюре.
А если каким-либо образом нам задано расположение в пространстве некой поверхности, то для однозначного определения расположения в трехмерном пространстве точки, которая принадлежит этой поверхности, достаточно одной проекции. Почему так? Всё просто. Если поверхность определена, значит, известно положение любой принадлежащей ей точки. Поэтому, указав конкретную точку с помощью одной ее проекции, мы можем получить остальные две проекции этой точки. Подробно рассмотрим это свойство. В качестве примера будем использовать шар.
Как бы мы ни рассекали шар любыми параллельными между собой плоскостями, в разрезе у нас всегда будут получаться круги. Это поможет нам при построении двух проекций точки поверхности при известной одной проекции. Для большей наглядности на эпюре буду использовать все три плоскости проекции.
Поверхность шара — это сфера. На эпюре представлены ее проекции.
Построим три произвольных фронтальных плоскости уровня. Они обозначены на рисунке своими горизонтальными и профильными следами голубого, синего и зелёного цвета.
Эти плоскости при пересечении со сферой образуют окружности. Естественно, горизонтальные и профильные проекции этих окружностей совпадают со следами фронтальных плоскостей уровня. На рисунке я не стал показывать следы плоскостей, а обозначил только проекции окружностей.
Построим фронтальные проекции этих окружностей. Рассмотрим каждую окружность на поверхности сферы отдельно.
Начнем с синей проекции. Синяя фронтальная плоскость уровня была выбрана так, чтобы она содержала центр шара. Естественно, при этом радиус окружности фронтальной проекции линии пересечения сферы и синей плоскости уровня будет равен радиусу сферы.
Для голубой окружности на поверхности сферы радиус определяется по горизонтальной проекции этой окружности.
Аналогично и для зеленой окружности. С той лишь разницей, что зеленая линия пересечения сферы и фронтальной плоскости уровня будет невидимой на фронтальной проекции.
Точно так же можно построить горизонтальные плоскости уровня. В этот раз я ограничился только двумя плоскостями, зеленой и синей, которые представлены на эпюре своими фронтальными и профильными следами.
На рисунке показаны все проекции линий пересечения сферы и горизонтальных плоскостей уровня. Рассматривать ситуацию с профильной плоскостью уровня не буду. Все действия аналогичны.
А вот теперь, с учетом приобретенных навыков, определим все проекции точки, расположенной на поверхности шара.
Поскольку я на своих рисунках не использую буквенные обозначения для проекций точки, поэтому видимые точки у меня окрашены полностью, а невидимые представлены только контуром.
Случайным образом выберем красную точку на поверхности шара путем задания ее проекции, скажем, на фронтальной плоскости проекции. Понятно, что если мы построим синюю горизонтальную плоскость уровня, то красная точка будет принадлежать линии пересечения этой плоскости и сферы, которая является поверхностью шара. Я не стал показывать следы горизонтальной плоскости уровня, а сразу построил проекции линии пересечения сферы и плоскости.
Теперь с помощью линий связи мы легко определим еще две проекции красной точки.
Можно максимально упростить этот процесс. Алгоритм такой. Строим перпендикуляр к одной из осей симметрии сферы, проходящий через заданную проекцию точки. Определяем размер радиуса. На соответствующей плоскости проекции проводим дугу. И с помощью линии или линий связи определяем еще одну или еще две проекции точки. Конечно, при построении перпендикуляра для определения размера радиуса мы используем не абы какую ось симметрии сферы, а только оси, параллельные координатным осям.
На рисунке показана последовательность действий для определения фронтальной и профильной проекций точки, которая расположена на поверхности сферы и задана своей горизонтальной проекцией.
Такой же результат получим, если будем строить перпендикуляр ко второй оси симметрии.
Для профильной проекции точки на поверхности сферы покажу только один вариант определения горизонтальной и фронтальной проекции. Второй вариант приведет к тому же самому результату.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.