Привет всем, кто не боится учиться!👋
Сегодня мы продолжим тему векторов (все о проекции вектора на координатные оси тут) и поговорим о том, как их правильно складывать и вычитать.
Но сначала подписывайтесь на мой телеграм-канал, там я выкладываю (буду выкладывать😅) много интересного.
Для начала проговорим, какие есть способы сложения векторов.
1. Сложение векторов по правилу треугольника
Пусть даны векторы a и b. Если векторы a и b отложить последовательно друг за другом (начало вектора b попадает в конец вектора a), то вектор суммы c будет соединять начало первого вектора с концом второго вектора.
Не важно в какой последовательности вы будете откладывать векторы: сначала вектор a, потом вектор b или наоборот, сначала вектор b, а потом вектор a. Сумма векторов будет одинаковой и в первом случае, и во втором. Давайте попробуем сложить векторы a и b снова, но в другой последовательности.
Как видно из рисунков, мы получили два равных вектора с.
⚠️Важно⚠️
Таким образом, сумма векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
Теперь рассмотрим второй способ сложения векторов.
2. Сложение векторов по правилу параллелограмма
Пусть даны векторы a и b. Если векторы a и b отложить от одной точки (начало вектора a совпадает с началом вектора b) и построить параллелограмм на векторах a и b,то вектором суммы с будет диагональ параллелограмма, причем начало вектора c совпадает с началом исходных векторов.
Так же есть третий способ, как складывать векторы, он применяется, когда нужно сложить более 2-ух векторов. Называется он правило многоугольника.
3. Сложение векторов по правилу многоугольника
Пусть даны векторы a, b, c и d. Если отложить векторы последовательно один за другим, так чтобы начало каждого последующего вектора совпадало с концом предыдущего, то вектор, который начинается в начале первого вектора и заканчивается в конце последнего, будет являться их суммой. То есть в нашей задаче конец вектора a попадает в начало вектора b, конец вектора b попадает в начало вектора с, конец вектора с попадает в начало вектора d. Соединяя начало вектора a с концом вектора d, получим вектор суммы e.
Так же давайте рассмотрим вычитание векторов.
Вычитание векторов
По сути это все то же действие сложения, но если в случаях выше вы складывали два положительных вектора, то теперь нам надо сложить положительный вектор с отрицательным вектором.
Сначала давайте вспомним, что такое отрицательный вектор.
📌Отрицательный вектор — это вектор, который имеет тот же модуль (длину), что и исходный вектор, но "смотрит" в противоположную сторону.
Пусть дан вектор k, построим для него вектор -k.
Обратите внимание, векторы k и -k лежат на параллельных прямых, то есть угол наклона вектора должен остаться неизменным, так же модуль вектора должен остаться неизменным, а направление нужно сменить на противоположное.
Теперь приступим к вычитанию векторов.
Пусть даны векторы a и b. Если векторы a и -b (вектор -b противоположно направлен к вектору b) отложить последовательно друг за другом (начало вектора -b попадает в конец вектора a), то вектор разности c будет соединять начало первого вектора с концом второго вектора.
Осталось обратить внимание на частный случай, когда угол между векторами равен 0 градусов. В таком случае геометрическая сумма векторов совпадает с арифметической суммой. И геометрическая разность векторов совпадает с арифметической разностью. Разберем на примере.
Пусть вектора a и b параллельны друг другу, модуль вектора a равен 6 м, модуль вектора b равен 8 м. Сначала найдем сумму данных векторов.
Воспользуемся правилом треугольника, то есть отложим последовательно друг за другом вектор a и вектор b. Построим вектор суммы с, соединяя начало первого вектора с концом второго.
Из рисунка видно, что модуль вектора с равен сумме модулей векторов a и b. То есть:
Теперь приступим к разности векторов: a-b.
Снова воспользуемся правилом треугольника, то есть отложим последовательно друг за другом вектор a и вектор -b. Построим вектор суммы с, соединяя начало первого вектора с концом второго.
Из рисунка видно, что модуль вектора с равен разности модулей векторов a и b. То есть:
Знак "-" в ответе говорит о направлении вектора с. Он противоположно направлен по отношению к исходным векторам а и b. Сам же модуль вектора с равен 2 м.
Решение задачи
И в завершении сегодняшней темы предлагаю решить небольшую задачу. Задача номер 7 из сборника задач по физике 10-11 класса Н. А. Парфентьевой.
Условие задачи📝:
Сложите два вектора a и b, направленные соответственно вдоль осей OX и OY. Модули векторов равны 3 и 5,2 м. Определите модуль полученного вектора и угол, который он составляет с осью OX.
Отложим векторы a и b от точки О и выполним сложение векторов по правилу параллелограмма. Для этого достроим две противоположные стороны, обозначим полученный параллелограмм ОАВС. Проведем в нем диагональ ОВ. Она и является искомым вектором суммы. Обозначим вектор суммы как с.
1) Модуль вектора с
Перед тем, как найти модуль вектора с, рассмотрим подробнее полученный четырехугольник ОАВС. В нем все углы прямые, поэтому данный четырехугольник является прямоугольником.
Вернемся к модулю вектора. Для начала нам нужно рассмотреть треугольник ОВС. В нем нам известны катеты ОС и СВ, поэтому по теореме Пифагора найдем гипотенузу ОВ:
Таким образом, модуль вектора с равен:
2) Угол с осью ОХ
Напомню,
📌Угол между векторами - это наименьшим угол, образующийся между ними, при откладывании векторов от одной точки.
В нашем случае углом между вектором с и осью ОХ будет угол ВОС.
Чтобы найти угол ВОС распишем для него функцию тангенса:
Таким образом угол между вектором с и осью ОХ равен 30 градусов. Готово, задача решена!
Запишем полученные ответы:
1) Модуль вектора с равен 6 м;
2) Угол между вектором с и осью ОХ равен 30 градусов.
🏁Подведем итог🏁
Сложение векторов осуществляется двумя способами: правилом треугольника и правилом параллелограмма. Какой именно способ использовать зависит от ваших предпочтений и условия задачи.
Если вы дочитали до конца, подписывайтесь на канал, ставьте палец вверх👍 Это мотивирует быстрее публиковать новые статьи!