Привет всем, кто не боится учиться! 👋
Сегодня мы поговорим о векторах.
Но сначала подписывайтесь на мой телеграм-канал, там я выкладываю (буду выкладывать😅) много интересного.
В физике мы очень часто сталкиваемся с ними, и для правильного решения задач жизненно необходимо хорошо владеть темой "Векторы". Давайте начнём с определения вектора.
📌Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий определённую длину и направление.
Обозначать вектор можно одной строчной буквой или двумя заглавными (первая буква в записи - точка начала вектора, вторая буква - точка конца вектора) со значком вектора сверху. Из определения видно, что у любого вектора есть длина (если её нет, то такой вектор называют нулевым вектором - у него совпадают точка начала и точка конца). Если говорить терминами, то длину вектора называют модулем вектора и обозначают с помощью двух вертикальных линий слева и справа.
На рисунке выше изображено несколько векторов разной длины (модуля) и направления, а так же правильно подписаны названия векторов и длины векторов (модули).
В контексте физики вектор это скорее векторная величина (скорость, сила, импульс, ускорение), у которой помимо численного значения, есть ещё и направление. Причем принципиально важно, в какую сторону "смотрит" вектор. Представьте, вы хотите передвинуть стол в другой конец комнаты, вы прикладываете силу к столу именно в направлении того угла, куда хотите его поставить и никак иначе.
Сложности начинаются именно от того, что появляется направление... Мы не можем выполнять математические операции сразу и с числами, и с векторами. Для начала, нужно получить проекцию вектора на ось, то есть как бы преобразовать вектор в число. Одни векторы легко проецировать на ось, другие - сложно, это зависит от взаимного расположения вектора и оси, на которую мы его проецируем. Но алгоритм действий всегда один и тот же.
Итак, чтобы получить проекцию вектора на ось, нужно:
1. Опустить из точки начала вектора первый перпендикуляр к оси;
2. Опустить из точки конца вектора второй перпендикуляр к оси;
3. Найти длину отрезка, получившегося на оси.
Рассмотрим 3 возможных варианта расположения вектора и оси.
1) Вектор и ось параллельны
(сонаправлены⬆️⬆️ или противоположно⬆️⬇️ направлены)
Дано: Пусть ось ОХ направлена вправо и вектор АВ тоже "смотрит" вправо. Длина (модуль) вектора АВ равна 5 м.
Чтобы получить проекцию вектора на ось, нужно опустить на эту ось перпендикуляры из точек начала и конца вектора. Из точки А опустим перпендикуляр АА1, из точки В - перпендикуляр ВВ1. (Точка А1 - это проекция точки А, точка В1 - это проекция точки В). Таким образом мы получили на оси ОХ отрезок А1В1, он и есть проекция нашего вектора. Осталось только понять какова длина отрезка А1В1. Для этого рассмотрим четырёхугольник АВВ1А1, в нём все углы прямые, делаем вывод, что перед нами прямоугольник. По свойству прямоугольника А1В1=АВ= 5 м.
Таким образом проекция вектора АВ на ось ОХ равна:
⚠️Важно⚠️
Проекция вектора может быть как положительной, так и отрицательной. От чего зависит знак проекции.
Если от проекции начала вектора к проекции его конца надо идти в положительном направлении оси, то проекция вектора считается положительной. В противном случае она считается отрицательной.
Проще говоря, если вектор "смотрит" в ту же сторону, что и ось, то его проекция на эту ось будет положительной. Если вектор "смотрит" в противоположную сторону от оси, то его проекция будет отрицательной.
2) Вектор и ось образуют острый угол
Дано: Пусть ось ОХ направлена вправо, а вектор АВ образует с осью угол в 30 градусов. Модуль вектора АВ равен 5 м.
Чтобы получить проекцию вектора на ось, нужно проделать все те же операции, что мы делали выше⬆️. Таким образом мы получим на оси ОХ отрезок А1В1, он и есть проекция нашего вектора. Из рисунка видно, что длина отрезка А1В1 меньше, чем длина вектора АВ. Чтобы вычислить длину получившегося отрезка, нужно рассмотреть прямоугольный треугольник АВС.
Отрезок А1В1 равен отрезку АС, поэтому в треугольнике АВС нам нужно найти катет АС. В треугольнике АВС нам известны гипотенуза АВ, равная 5 м, и угол ВАС, равный 30 градусов. Заметим, что катет АС является прилежащим для угла ВАС. То есть мы можем расписать функцию косинуса для угла ВАС:
В итоге проекция вектора АВ на ось ОХ равна:
⚠️Важно⚠️
Когда в условии задачи нам дают угол между вектором и осью, нужно правильно отложить этот угол. По сути ось ОХ тот же вектор. То есть мы имеем дело с углом между векторами.
📌Угол между векторами - это наименьшим угол, образующийся между ними, при откладывании векторов от одной точки.
Ниже пример рисунка, как неправильно изобразить угол в 30 градусов между вектором АВ и осью ОХ:
Неправильное построение рисунка будет влиять на знак проекции. В рисунке выше вектор АВ "смотрит" в противоположную сторону с осью ОХ. Тогда проекция данного вектора на ось ОХ должна быть отрицательной, а это ошибочно.
Формулы для вычисления проекций
Стоит так же отметить, что для решения задач на плоскости необходимо получить проекцию вектора не только на ось ОХ, но и на ось OY. Однако в условии всегда приводят угол между вектором и осью ОХ. Давайте разберём задачу на плоскости.
Дано: Вектор АВ образует с осью ОХ угол в 30 градусов, модуль вектора АВ равен 3 м.
Проекция вектора на ось ОХ
Опустим из точки А перпендикуляр к оси ОХ, обозначим основание перпендикуляра точкой А1. Таким же образом построим перпендикуляр из точки В - ВВ1. Мы получили на оси ОХ отрезок А1В1, он и есть проекция нашего вектора. Чтобы вычислить длину получившегося отрезка, нужно рассмотреть прямоугольный треугольник АВЕ. Отрезок А1В1 равен отрезку АЕ, поэтому в треугольнике АВЕ нам нужно найти катет АЕ. Так же как в предыдущем пункте применим функцию косинуса для угла ВАЕ:
В итоге проекция вектора АВ на ось ОХ равна:
Проекция вектора на ось ОY
Аналогичным образом опускаем на ось ОY перпендикуляры из точек А и В, основания перпендикуляров обозначим А2 и В2 соответственно.
Таким образом мы получили на оси ОY отрезок А2В2, он и есть проекция нашего вектора. Чтобы вычислить длину получившегося отрезка, нужно рассмотреть прямоугольный треугольник АВК. Отрезок А2В2 равен отрезку АК, поэтому в треугольнике АВК нам нужно найти катет АК. Но перед этим пару слов об углах в треугольнике АВК.
По условию задачи нам известно, что угол ВАЕ равен 30 градусов. Рассмотрим катеты АЕ и КВ треугольников в качестве параллельных прямых, а гипотенуза АВ будет являться секущей. Тогда углы ВАЕ и АВК равны как накрест лежащие при параллельных прямых.
Вернемся к треугольнику АВК.
Чтобы вычислить длину катета АК, нужно расписать функцию синуса для угла АВК:
В итоге проекция вектора АВ на ось ОY равна:
Обратите внимание, проекция вектора АВ на ось OY отрицательная, потому что направления вектора АВ и оси OY противоположные.
Если решить много подобных задач, можно заметить закономерность. В чем она заключается.
При нахождении проекции вектора на ось ОХ, нужно модуль вектора умножить на косинус угла между вектором и осью ОХ. При нахождении проекции вектора на ось OY, нужно модуль вектора умножить на синус угла между вектором и осью ОХ. Ниже я записала формулы для вычисления проекций.
Пользоваться этими формулами довольно удобно, но нужно помнить, что проекция может получиться отрицательной, если вектор и ось противоположно направлены. Именно поэтому в формула стоит знак "плюс/минус".
Для наглядности я изобразила разные вектора и их проекции на ось ОХ:
И так же их проекции на ось ОY:
3) Вектор и ось образуют прямой угол
Дано. Пусть ось ОХ направлена вправо, а вектор АВ образует с осью угол в 90 градусов. Модуль вектора АВ равен 1,5 м.
В этом случае все очень просто. Если вектор расположен под углом 90 градусов к оси, то его проекция на эту ось равна нулю.
Это объясняется тем, что проекция точки начала вектора и проекция точки конца вектора будут совпадать друг с другом.
🏁Подведем итог🏁
Чтобы решать задачи с векторами, нужно правильно отмечать угол между вектором и осью, а так же не забывать про знак "-", если направления вектора и оси противоположные.
Если вы дочитали до конца, подписывайтесь на канал, ставьте палец вверх👍 Это мотивирует быстрее публиковать новые статьи!