С полным списком всех статей, опубликованных на канале, можно ознакомиться здесь. Заметки конкретно по начертательной геометрии.
В предыдущей статье, посвященной взаимной видимости объектов на эпюре, в задаче 3 для определения точки пересечения прямой и треугольника использовались вспомогательные проецирующие плоскости. Решение было найдено как при использовании горизонтально проецирующей плоскости, так и при использовании фронтально проецирующей плоскости. В этой статье я буду применять этот прием, предполагая, что вы с ним уже знакомы.
Еще одно замечание. В своих заметках по начертательной геометрии я стараюсь не использовать буквенно-цифровые обозначения, чтобы не «засорять» рисунок, поскольку я пытаюсь как можно более просто объяснить алгоритмы графического решения задач. Хватает того, что мне невольно приходится употреблять «правильные» термины. Все эти фронтально или горизонтально проецирующие плоскости или прямые, следы, горизонтальные и фронтальные проекции, вертикальные линии связи и т. д.
Поэтому для обозначения объектов я использую цветные линии и различные цветные формы точек: круглые, квадратные, треугольные, звездочкой. Горизонтальные и фронтальные проекции одной и той же точки имеют одинаковую форму и цвет. А определить проекции конкретного отрезка можно по форме и цвету точек на его концах.
Рассмотрим задачу построения проекций линии пересечения двух треугольников и определения их взаимной видимости со страницы 189 из книги: Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина. – 1-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 168 с.: ил.
Необходимо найти линию пересечения двух треугольников и определить взаимную видимость этих фигур.
Если мы найдем точки пересечения двух сторон зеленого треугольника с плоскостью синего треугольника, а затем соединим эти точки отрезком, это и будет линия пересечения плоскостей двух треугольников. Надеюсь, это понятно.
Как определить проекции точки пересечения прямой и плоскости, заданной треугольником, я разбирал в предыдущей статье. Повторим этот алгоритм.
Построим плоскость, используя одну из сторон зелёного треугольника и фронтальную проекцию этой стороны. Такая плоскость будет ортогональна фронтальной плоскости проекции, а значит, это будет фронтально проецирующая плоскость. На рисунке она обозначена красным фронтальным следом, ее горизонтальный след нам не понадобится.
Естественно, фронтальная проекция линии пересечения красной фронтально проецирующей плоскости и плоскости синего треугольника будет располагаться на фронтальном следе красной плоскости. На рисунке эта проекция выделена голубым цветом.
А горизонтальную проекцию голубого отрезка найдем с помощью вертикальных линий связи.
Голубой отрезок в пространстве принадлежит красной плоскости, а сторона зелёного треугольника, ограниченная «круглой» и «квадратной» точками, тоже принадлежит красной плоскости. Если горизонтальные проекции двух отрезков, расположенных в пространстве на одной плоскости, пересекаются, значит, пересекаются и отрезки в пространстве. А точка пересечения двух проекций является горизонтальной проекцией пространственной точки пересечения. На рисунке она обозначена красным кружком.
Но и это еще не всё. Голубой отрезок является линией пересечения красной плоскости и плоскости синего треугольника. То есть голубой отрезок принадлежит плоскости синего треугольника, и, следовательно, красная «круглая» точка в пространстве является точкой пересечения стороны зеленого треугольника и плоскости синего треугольника.
Найдем фронтальную проекцию красной «круглой» точки. А теперь проделаем всё то же самое для второй стороны зеленого треугольника.
В этот раз фронтально проецирующая плоскость построена с использованием стороны зеленого треугольника, ограниченной «круглой» и «звездной» точками, и фронтальной проекцией этой стороны.
Вновь получим фронтальную проекцию голубой линии пересечения красной фронтально проецирующей плоскости и плоскости синего треугольника.
Определим горизонтальную проекцию голубой линии пересечения. И, повторив предыдущие рассуждения, приходим к выводу, что красная «квадратная» точка является точкой пересечения второй стороны зеленого треугольника и плоскости синего треугольника. На рисунке представлена горизонтальная проекция этой точки.
Теперь у нас есть проекции двух точек пересечения сторон зелёного треугольника с плоскостью синего треугольника.
Построим проекции этой линии пересечения.
С помощью конкурирующих точек определим взаимную видимость двух треугольников. Начнем с горизонтальной плоскости проекции. Для левой пары конкурирующих точек синяя точка находится дальше от горизонтальной плоскости проекции, поэтому именно она является видимой. Для правой пары, наоборот, видимой точкой будет зеленая.
Оформим эти выводы на чертеже.
Аналогично проанализируем фронтальную плоскость проекции. В левой паре видимая точка синяя, в правой — зелёная.
Мы полностью решили поставленную задачу.
Для более наглядного представления пересечения двух треугольников привожу этот цветной рисунок.
На сегодня всё. Удачи вам. Дерзайте.