С полным списком всех статей, опубликованных на канале, можно ознакомиться здесь. Заметки конкретно по начертательной геометрии.
Прежде чем говорить о взаимной видимости фигур в начертательной геометрии, скажу несколько слов о понятии «видимость».
Когда мы смотрим на какую-либо геометрическую фигуру, неважно, простая она или сложная, мы видим объект в перспективе. Если воображаемый луч, проведенный от нашего зрачка к любой точке рассматриваемого предмета, не встречает никакого препятствия, значит, эта точка для нас видимая. В случае препятствия мы видим точку на препятствии. Поэтому мы не можем заглянуть вглубь объекта, а видим только его поверхность. Это элементарно.
Но когда мы хотим зафиксировать на рисунке то, что видим, уже начинаются сложности. Если мы стремимся геометрически точно передать изображение предмета, нам необходимо строго зафиксировать не только точку наблюдения, но и точку, куда направлен наш взгляд. Поясню на самом простом примере.
Разместим в первом октанте координатного пространства зелёный кубик. Выберем какую-то точку наблюдения. Направим взгляд на красную точку, расположенную на координатной плоскости YOZ, изображение будет таким.
А если мы переведем взгляд на красную точку, расположенную на координатной плоскости XOZ, не меняя при этом расположение точки наблюдения, изображение изменится. Отмечу, что масштаб изображения этого и предыдущего рисунков одинаков.
Поэтому для точного изображения формы фигуры и ее геометрических размеров применяют чертежи. Но с точки зрения человеческого глаза (во как завернул) на чертеже объект представлен искаженным, поскольку там напрочь отсутствует пространственная перспектива. Ведь в начертательной геометрии и в машиностроительном черчении используется параллельное проецирование. При таком подходе точки в пространстве ортогонально проецируются на координатные плоскости.
Понятно, что одной и той же проекции точки может соответствовать несколько точек в пространстве. В начертательной геометрии такие пространственные точки называют конкурирующими. При изображении объекта на чертеже или эпюре часто необходимо знать, какая из конкурирующих точек является видимой.
Ответ напрашивается сам собой. Параллельное проецирование предполагает, что точка наблюдения находится бесконечно далеко, именно поэтому проецирующие прямые параллельны друг другу. Тогда из нескольких конкурирующих точек видимой будет та, которая располагается на максимальном расстоянии от плоскости проекции.
Красная, синяя и зелёная пространственные точки принадлежат единой проецирующей прямой для фронтальной плоскости проекции. А горизонтальные проекции этих точек показывают, что наиболее удалённой от фронтальной плоскости является красная точка. Поэтому именно проекция красной точки на фронтальной плоскости является видимой.
Аналогично, если пространственные точки расположены на одной проецирующей прямой для горизонтальной плоскости проекции, видимой будет самая удаленная от этой плоскости зеленая точка.
Вооружившись этими сведениями, рассмотрим три задачи на пересечение прямой и плоскости. Как и в предыдущей статье, позаимствуем задачи со страницы 188 из книги: Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина. – 1-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 168 с.: ил.
Задача 1.
На рисунке представлены горизонтально проецирующая синяя прямая и плоскость, заданная двумя параллельными прямыми — зелёной и голубой. Необходимо найти точку пересечения синей прямой и заданной плоскости и определить, какой участок синей прямой будет скрыт этой плоскостью.
Давайте рассуждать. Вся горизонтальная проекция синей прямой выродилась в одну синюю точку. Следовательно, горизонтальная проекция точки пересечения синей прямой и плоскости тоже совпадает с этой точкой. На заданной плоскости построим красную прямую так, чтобы она проходила через точку пересечения синей прямой и плоскости и пересекала зеленую и голубую прямые.
Мы легко получаем горизонтальную проекцию этой красной прямой и горизонтальные проекции точек пересечения красной прямой с двумя прямыми, образующими плоскость.
Определим фронтальные проекции этих точек пересечения.
И с их помощью построим фронтальную проекцию красной прямой. Пересечение фронтальной проекции красной прямой и фронтальной проекции синей прямой дает нам фронтальную проекцию точки пересечения синей прямой и заданной плоскости. Ведь мы строили красную прямую из предположения, что она, во-первых, принадлежит заданной плоскости, а во-вторых, проходит через точку пересечения синей прямой и этой плоскости.
Эта точка пересечения разделяет синюю прямую на две части, одна из которых скрыта от нас плоскостью. Определим, какая часть является видимой.
Фронтальные проекции зелёной и синей прямой перекрещиваются. В этом перекрестье мы имеем две конкурирующие точки, проекции которых совпадают. А с помощью горизонтальной части эпюры мы видим, что точка, принадлежащая синей прямой, более удалена от фронтальной плоскости, чем точка зелёной прямой. Значит, этот участок синей прямой находится перед зелёной.
Отметим штриховой линией скрытый участок фронтальной проекции синей прямой. Но если внимательно присмотреться к рисунку, можно заметить, что горизонтальная проекция голубой прямой тоже должна быть частично скрыта от нас горизонтальной плоскостью проекции.
С помощью простых построений отметим и этот скрытый участок.
Задача 2.
В этой задаче необходимо определить точку пересечения зеленой прямой общего положения с фронтально проецирующей плоскостью, заданной синими следами. И, конечно, определить видимую и скрытую плоскостью части прямой.
Как и в предыдущей задаче, в своих рассуждениях будем отталкиваться от объекта не общего, а специального расположения. У фронтально проецирующей плоскости фронтальная проекция вырождается в прямую, которая совпадает с фронтальным следом плоскости. Тогда фронтальная проекция точки пересечения зеленой прямой и плоскости будет располагаться на этом же фронтальном следе.
Поскольку плоскость простирается в бесконечность, точка пересечения, принадлежащая зеленой прямой, будет закрываться бесконечным количеством точек плоскости. Поэтому видимыми будут проекции точек, принадлежащих плоскости. А фронтальные проекции всех других точек зеленой прямой не имеют конкурирующих точек, и за исключением точки пересечения зеленая фронтальная проекция полностью видимая.
Очень просто мы находим горизонтальную проекцию точки пересечения зеленой прямой и плоскости. Осталось определиться с видимостью зеленой горизонтальной проекции.
Поскольку правая от точки пересечения часть зелёной прямой на фронтальной проекции находится дальше от горизонтальной плоскости проекции, чем точки синей плоскости, то именно эта часть зелёной прямой будет видимой на горизонтальной проекции.
Задача 3.
Перед нами зеленая прямая общего положения и плоскость, заданная синим треугольником. В отличие от предыдущих двух задач, оба объекта не имеют каких-либо упрощений в своем пространственном расположении. Разве что одна вершина синего треугольника располагается на оси X, но это никак не облегчает решение задачи по поиску точки пересечения зеленой прямой и синего треугольника.
Давайте рассуждать. Произвольно расположенная в пространстве зелёная прямая представлена на эпюре двумя проекциями: фронтальной и горизонтальной. Остановимся на одной проекции, пусть это будет фронтальная проекция. В дальнейшем мы повторим все рассуждения и действия и для горизонтальной проекции.
Подумаем, как связаны пространственная прямая и ее фронтальная проекция. Для каждой точки зеленой прямой в пространстве существует проецирующая прямая, которая единственным образом связывает точку прямой с точкой на плоскости проекции. Давайте представим, что каждая такая проецирующая прямая — это тонкая нить, натянутая между двумя линиями, из которых одна — прямая в пространстве, другая — ее проекция. Выглядит как кусок полотна. Расширив это полотно во все стороны, получаем плоскость. Причем эта плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекции (проецирующие прямые ортогональны ей) и содержит в себе зеленую пространственную прямую.
Изобразим эту фронтально проецирующую плоскость в виде двух красных следов плоскости. В дальнейшем, как мы увидим, можно не рисовать горизонтальный след, он нам не понадобится.
Фронтально проецирующая красная плоскость пересекается с синим треугольником. Мы можем легко определить фронтальную проекцию этой линии пересечения двух плоскостей. На рисунке эта проекция выделена голубым цветом.
Легко получим и горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей.
Зелёная прямая располагается на красной плоскости. Голубая линия пересечения красной и синей плоскостей тоже принадлежит красной плоскости. Если две прямые принадлежат одной плоскости, а их проекции перекрещиваются, то в перекрестье находится проекция точки пересечения этих прямых. При этом любая точка голубой линии пересечения одновременно принадлежит не только красной плоскости, но и синей. Поэтому горизонтальная проекция зелёной точки — проекция точки пересечения зелёной прямой и синей плоскости.
Прежде чем построить фронтальную проекцию этой точки, определим видимый и скрытый участок горизонтальной проекции зелёной прямой. Левая пара конкурирующих точек показывает, что точка, принадлежащая прямой, находится дальше от горизонтальной плоскости проекции, чем точка, принадлежащая синей плоскости. У правой пары, наоборот, дальше располагается точка синей плоскости. Следовательно, левая часть горизонтальной проекции зелёной прямой будет видимой, а фрагмент правой части этой проекции будет скрыт синим треугольником.
Получив фронтальную проекцию зеленой точки, необходимо определить видимые и скрытые части теперь уже фронтальной проекции зеленой прямой. Для левой пары конкурирующих точек видимой будет точка плоскости, для правой пары — точка прямой. Поэтому левая часть фронтальной проекции зеленой прямой содержит скрытую часть проекции, а правая часть — полностью видимая.
Результат решения поставленной задачи представлен на рисунке.
А теперь попробуем решить задачу с использованием горизонтально проецирующей плоскости, которую построим, используя зеленую прямую в пространстве и горизонтальную проекцию этой прямой.
Как и в предыдущем случае, нам понадобится только один след красной горизонтально проецирующей плоскости, поэтому я не рисую ее фронтальный след.
Красная плоскость и синий треугольник пересекаются по голубой линии, горизонтальная проекция которой изображена на рисунке.
Получим фронтальную проекцию этой линии пересечения.
Фронтальная проекция голубой линии перекрещивается с фронтальной проекцией зеленой прямой. А поскольку обе пространственные прямые принадлежат одной красной плоскости, то перекрестие — это проекция точки пересечения двух линий. А с учетом того, что зеленая точка в пространстве принадлежит и синей плоскости, ведь она лежит на линии пересечения синей и красной плоскостей, можно утверждать, что зеленая точка — это фронтальная проекция точки пересечения зеленой прямой и синей плоскости.
А конкурирующие точки помогают нам правильно определить участки видимости фронтальной проекции зелёной прямой.
Определяем горизонтальную проекцию зеленой точки и устанавливаем видимый и скрытый участки горизонтальной проекции зеленой прямой.
Задача решена. Мы получили точно такой же результат, как и при использовании фронтально проецирующей плоскости. Какой из двух вариантов подходит вам, выбирайте сами.
На сегодня всё. Удачи вам. Дерзайте.