В статье о весах системы Беранже я уже писал о том, что первые работоспособные весы с чашами наверху построил в 1669 году французский математик Жиль Персонн де Роберваль и о том, что появление этих весов буквально сломало средневековые представления о статике, а их способность сохранять равновесие при любом положении грузов получила название парадокса Роберваля. Сейчас же я предлагаю вам поговорить об этой конструкции немного подробнее и, наконец, разобраться, как они работают.
Что было до Роберваля?
Для начала напомню, почему создание весов с чашами наверху было не такой простой задачей, как может показаться. Дело в том, что если бесхитростно закрепить чаши на коромысле сверху, мы получим сразу две проблемы:
- при наклоне коромысла чаши тоже будут наклоняться, а грузы – соскальзывать;
- равновесие весов будет зависеть от положения грузов в чашах.
Этого достаточно, чтобы такие весы были неприменимы на практике, поэтому вплоть до 17 века пользовались исключительно весами с подвесными чашами.
Тем не менее, делать это было не очень удобно, поскольку подвесы затрудняли доступ к чашам, из-за чего страдала скорость взвешивания. По этой причине идея весов с чашами наверху не покидала умы изобретателей, и Роберваль стал первым, кому удалось её воплотить.
Как устроены весы Роберваля?
Давайте присмотримся к устройству весов Роберваля. В их основе лежит шарнирный параллелограмм, благодаря которому решаются обе проблемы весов с чашами наверху, о которых я писал выше.
Одно из свойств параллелограмма состоит в том, что его противоположные стороны всегда параллельны друг другу. Исходя из него несложно доказать, что стойки весов Роберваля всегда будут вертикальны, а чаши – горизонтальны.
Из этого же свойства следует и то, что весы Роберваля будут сохранять равновесие независимо от положения грузов в чашах, однако объяснить это уже не так просто.
Парадокс Роберваля
Итак, давайте представим, что грузы в чашах имеют равную массу, но расположены таким образом, что их центры тяжести смещены вправо.
Что мы имеем: массы равны, но левое плечо короче правого, следовательно правая масса создаёт больший крутящий момент и в теории должна перевесить левую, но на практике этого не происходит. Парадокс?
Да, но только с точки зрения механики 17 века. Для современников Роберваля эта задача оказалась не по силам, а её первое правильное решение появилось лишь в 1804 году в «Началах статики» Л. Пуансо.
Решение Пуансо мне не известно, но я не вижу большого смысла его искать, ведь сегодня с парадоксом Роберваля не так уж и сложно разобраться.
Решение первое, поверхностное
Проще всего объяснить парадокс Роберваля, используя принцип минимума потенциальной энергии. В данном контексте его суть сводится к тому, что механическая система всегда стремится занять такое положение, при котором её центр тяжести занимает низшее из возможных положений.
Поскольку чаши весов Роберваля всегда горизонтальны, перемещение грузов не изменяет высоту, на которой расположен их общий центр тяжести.
Таким образом, положение устойчивого равновесия весов будет одинаковым для любого положения грузов на их чашах.
Но чем же тогда уравновешивается момент, создаваемый за счёт смещения центра тяжести системы грузов относительно точек подвеса коромысел? Тут тоже ничего сложного: ответный крутящий момент создаётся за счёт горизонтальных реакций, действующих в опорах коромысел.
Таким образом, в общих чертах парадокс Роберваля объясняется достаточно просто, однако в таком подходе всё равно чувствуется какой-то подвох, ведь по сути мы всего лишь доказали, что весы Роберваля не опровергают законы физики. Согласитесь, вряд ли этот факт способен кого-то впечатлить.
Решение второе, основательное
На мой взгляд, утверждать, что ты в чём-то разобрался можно лишь тогда, когда ты можешь это рассчитать. В случае с весами это означает найти силы, действующие во всех шарнирах. Но тут кроется принципиальная проблема: весы Роберваля статически неопределимы. Это означает, что найти действующие в них силы методами статики невозможно.
Впрочем, это не помешает нам объяснить равновесие механизма, не углубляясь в дебри сопромата. Для этого провернём небольшой трюк и для начала представим, что вместо сплошного нижнего коромысла весы имеют два одинаковых рычага, закреплённых в одной точке.
С точки зрения кинематики такие весы будут работать точно также, а рассчитать действующие в них силы будет гораздо проще. Собственно, вот этот расчёт:
Таким образом, мы можем доказать, что крутящий момент на плече весов Роберваля с разрезным коромыслом определяется весом груза и расстоянием между шарнирами, а положение груза в чаше не имеет значения.
Теперь давайте вернёмся к весам с неразрезным коромыслом. С точки зрения механики его отличие от разрезного заключается в том, что оно может передавать крутящий момент. Значит, чтобы разрезное коромысло стало эквивалентным неразрезному, к его рычагам нужно добавить крутящие моменты, равные по величине, но противоположные по направлению.
Какими бы ни были эти моменты, мы с уверенностью сможем сказать, что они не повлияют на равновесие, ведь они будут уравновешивать сами себя.
Если же мы хотим найти величину этих моментов, то без сопромата уже не обойтись, ведь придётся сопоставлять деформации верхнего и нижнего коромысел. Впрочем, если они одинаковы, то логично предположить, что и действующие в них моменты тоже будут одинаковыми и в идеальном случае равными половине произведения веса G на плечо l.
Недостатки весов Роберваля
К сожалению, наш мир не идеален, и дополнительные деформации могут возникнуть из-за неточностей изготовления. Например, если длины стоек будут различаться, то при сборке придётся гнуть коромысла, и в них навсегда поселится паразитный крутящий момент. Из-за этого шарниры весов постоянно будут нагружены лишними силами, а это приведёт к увеличению трения в них и, как следствие, – снижению точности весов.
Эта погрешность – прямое следствие статической неопределимости, поэтому по мере совершенствования конструкции весов от неё старались избавиться. Наиболее распространённое решение – изменить конструкцию нижнего центрального шарнира так, чтобы он воспринимал только горизонтальные реакции, например, выполнить его по схеме "шип-паз".
Однако при этом шарниры весов Роберваля всё равно будут нагружены не только вертикальными, но и горизонтальными силами, а это означает, что они должны быть закрытыми. Трение в таких шарнирах значительно больше, чем в опорных призмах, применяемых в более точных весах. А это неизбежно приводит к снижению точности весов.
Эти причины привели к тому, что в XIX веке весы Роберваля были вытеснены такими же простыми и удобными, но более точными весами системы Беранже, известными также под народным названием "весы-уточки".