Астрологи объявили месяц весов, и это повод вернуться к теме мер и измерений. Написать эту статью меня подтолкнуло посещение села Вятского Ярославской области, а точнее – музея русской предприимчивости, где мне удалось подробно рассмотреть конструкцию старинных весов-уточек или, если говорить строго, весов системы Беранже.
Такие весы были очень популярны в XX веке и даже в какой-то степени стали символом торговли.
Несмотря на это мало кто понимает, как они работают. Кажется, что в обычных весах не может быть ничего сложного, но если мы присмотримся, то заметим, что внутри спрятан какой-то хитрый механизм.
Художники часто пренебрегают этими подробностями и упрощают конструкцию настолько, что нарисованные ими весы становятся совершенно неработоспособными.
Если вы не понимаете, что не так с этими рисунками – не переживайте, сейчас мы по порядку во всём разберёмся.
Весы с подвесными чашами
Наиболее простой и древней разновидностью весов являются равноплечные рычажные весы с подвесными чашами, на которых неизвестная масса сравнивается с известной (набором гирек).
Такие весы устроены достаточно просто, но у них есть одна важная особенность: шарнир "O", на котором вращается коромысло, всегда расположен выше прямой "AB", соединяющей точки подвеса чаш. Если бы все точки лежали на одной прямой, как часто изображают на детских рисунках, то пользоваться весами было бы очень неудобно. При равенстве масс они сохраняли бы равновесие в любом положении коромысла, а малейшее различие грузов приводило бы к тому, что более тяжёлая масса сразу же занимала бы низшее из возможных положений.
Благодаря тому, что в реальных весах шарнир "О" смещён вверх, при повороте коромысла нижнее плечо становится короче верхнего. Это компенсирует большую массу нижнего груза, и при некотором наклоне весы приходят в равновесие. При этом угол поворота коромысла будет тем больше, чем сильнее различаются массы грузов. Одинаковые же массы всегда будут приходить в равновесие при горизонтальном положении коромысла.
Проблема весов с чашами наверху
Несмотря на то, что весы с подвесными чашами просты, точны и надёжны, класть на них товары и гири, а затем снимать их оттуда не очень удобно, из-за того, что прямой доступ к чашам ограничен повесами. Этот недостаток особенно заметен в торговле, где важно всё делать быстро. Поэтому идея сделать весы с чашами наверху напрашивалась сама собой, но она упиралась в некоторые сложности.
Очевидно, что просто установить чаши на шарнирах не получится: они сразу же завалятся набок.
Если жёстко закрепить чаши на коромысле, то проблем будет не меньше. Во-первых, плечи сил тяжести будут зависеть от положения грузов на чашах, поэтому гарантировать равновесие будет невозможно даже при равенстве масс. Во-вторых, чаши будут наклоняться вместе с коромыслом, из-за чего грузы будут соскальзывать, ещё сильнее нарушая равновесие.
Весы Роберваля
Первые рабочие весы с чашами наверху смог построить французский математик Жиль Персонн де Роберваль, который представил их перед французской академией наук в 1669 году. В основе этих весов лежал шарнирный параллелограмм, благодаря которому чаши всегда оставались горизонтальными, а моменты сил на коромыслах не зависели от положения грузов. Последний факт настолько удивлял современников, что был назван парадоксом Роберваля.
Сегодня для объяснения этого парадокса достаточно знаний, которые даются на первом курсе технического вуза. Несмотря на то, что формально задача о весах Роберваля статически неопределимая, её можно решить методами статики. Для этого нужно сперва доказать равновесие весов с разрезным нижним коромыслом, а затем – что при цельном коромысле ничего не изменится.
Впрочем, о таких весах мы поговорим в другой раз, а пока самые нетерпеливые могут посмотреть объяснение парадокса Роберваля на "школьном" уровне или попытаться решить задачу самостоятельно.
Весы Беранже
Мы же, наконец, перейдём к конструкции, ради которой и затевалась эта статья. Можно встретить мнение, что Жозеф Беранже в 1847 году всего лишь улучшил весы Роберваля вспомогательными рычагами на месте стоек под основным двойным коромыслом, но я с этим не согласен. На мой взгляд, весы Беранже устроены совершенно иначе, и в этом легко убедиться, взглянув на схему ниже.
Главное отличие даже не в количестве и расположении рычагов, а в том, что весы Беранже статически определимы, то есть все действующие в них силы можно найти методами статики.
Секрет весов Беранже заключается в равном соотношении длин верхнего и нижних рычагов. Если это условие выполняется, то при равенстве масс весы всегда находятся в равновесии. Чтобы в этом убедиться, докажем, что момент силы тяжести, действующий на коромысло со стороны груза, не зависит от его положения в чаше.
Более того, благодаря равному соотношению плеч чаши весов всегда сохраняют почти горизонтальное положение.
Кстати, обратите внимание, что в весах Беранже ось коромысла (точка О) также расположена выше остальных шарниров, чтобы при равенстве масс чаши весов устанавливались "клюв к клюву", то есть строго на одном уровне.
Заключение
Почему же несмотря на такое сложное устройство весы Беранже стали популярнее весов Роберваля? Ведь рычагов и шарниров в них больше и кажется, что из-за этого потери на трение вырастут, а точность ухудшится.
Я думаю, что всё дело в той самой статической определимости: любая неточность изготовления в весах Роберваля приводила к тому, что в шарнирах параллелограмма появлялись паразитные силы. К тому же, вес грузов создавал в них не только вертикальные, но и горизонтальные реакции. В совокупности все эти "лишние" силы создавали дополнительное трение, которое снижало точность весов. Если же мы присмотримся к весам Беранже, то обнаружим, что большая часть шарниров – это на самом деле подвесы на опорных призмах, трение в которых не так велико.
Благодаря этому несмотря на сложность конструкции потери в весах Беранже меньше, а точность – выше. Именно эти факторы поспособствовали их широкому распространению в торговле, где подобные конструкции встречались чуть ли не до конца ХХ века.