В ответ на пост
Что значит, что два цикла гомологичны?
Мы уже знаем, что в симплициальной теории мы различаем цепи, у которых нет границы (циклы), и те, которые сами являются границами чего-то большего. Но чтобы получить настоящую гомологию, нужно сделать ещё один шаг — ввести отношение эквивалентности между циклами.
Два цикла считаются гомологичными, если их разность равна границе. То есть если один цикл можно «сдвинуть» в другой с помощью заполнения промежутка между ними симплексами более высокой размерности. Формально, если 𝑐 и 𝑐′ — два цикла, и 𝑐−𝑐′=∂𝑑 для некоторой цепи 𝑑, то 𝑐∼𝑐′.
Это отношение позволяет сгруппировать все циклы в классы. В каждом классе — все циклы, которые отличаются друг от друга «на границу». Именно эти классы и составляют группу гомологий 𝐻𝑘(𝐾), где 𝑘 — размерность.
Грубо говоря, гомологические циклы — это разные способы «обхода дыр» в пространстве, которые по сути говорят об одном и том же: дыра есть, и она вот здесь. Всё, что отличается от этого обхода на границу, считается тем же самым с точки зрения топологии.
На картинке ниже — гомологичные органы: передние конечности позвоночных. У летучей мыши — крыло, у крота — лопата, у человека — рука. Разные функции, формы, длины — но один и тот же план. Та же структура костей, та же логика построения. Эволюция просто «перераспределила» части в зависимости от задачи.
#теориягомологий
