📘 Что такое симплициальные гомологии — простыми словами

📘 Что такое симплициальные гомологии — простыми словами

В топологии важно уметь отличать пространства друг от друга не по внешнему виду, а по их устройству «внутри» — например, по наличию дыр, замкнутых поверхностей, пустот. Чтобы перевести это в строгую математику, вводятся симплициальные гомологии.

Сначала мы разбиваем пространство на простые фигуры: точки, отрезки, треугольники, тетраэдры. Они называются симплексами, и из них можно собрать любую форму. Важный момент: у каждого симплекса фиксируется порядок его вершин — это называется ориентацией.

Далее вводится понятие границы симплекса. Например, граница треугольника — это "сумма" его трёх рёбер, с учётом направления. Граница отрезка — это его две конечные точки (с минусом и плюсом). Это записывается специальной формулой, где каждое подмножество вершин симплекса берётся с нужным знаком.

Главное свойство: граница от границы всегда равна нулю. Если вы возьмёте треугольник, затем его рёбра, а потом — границы этих рёбер, всё сократится.

После этого мы можем различать два типа цепочек:

– Те, у которых границы нет (называются циклами).

– Те, которые сами являются границей чего-то большего (границы).

И наконец, гомологии — это способ отделить первые от вторых. Мы смотрим, какие циклы не являются границей. Именно они и указывают на наличие «дырок» в пространстве.