Интеграл - математическая операция, обратная дифференцированию.
Производные некоторых функций могут быть одинаковыми, поэтому при нахождении первообразной функции учитывают постоянную интегрирования.
Изучим простейшие правила, которые помогут нам в дальнейшем находить интегралы.
Интеграл производной функции равен функции + постоянная интегрирования.
Производная интеграла функции равна функции.
Интеграл суммы можно разбить на несколько интегралов.
Константы, относящиеся ко всему интегралу можно выносить за знак интеграла.
Интегралы нуля и константы запоминаем.
Одно из самых широко распространенных правил интегрирования - правило степенного интегрирования. не забываем, что на 0 делить нельзя, поэтому при n=-1 решение другое.
Существуют самые базовые решения интегралов, которые лежат в основе более сложных заданий. Их занесли в таблицу и при достаточном опыте их запоминают наизусть.
Это базовые интегралы тригонометрических функций.
Это не полный список таблицы интегралов. Только те, которые можно будет легко выучить на старте. Остальные табличные интегралы более массивны.
Все задачи по решению задач по интегрированию сводятся к использованию табличных интегралов и правил интегрирования. В более сложных случаях проводятся замены. Приведу два способа решения более сложных интегралов.
При использовании метода подстановки после замены выражения образуется легко решаемый интеграл.
Для этого подбирается функция для замены и вычисляется ее дифференциал. Далее оставшаяся часть выражения выражается с помощью найденного дифференциала. Если выражение приняло красивую, решаемую форму, то решают новый интеграл и после получения решения выполняют обратную замену. Если выражение не пришло к решаемой форме, то используют метод интегрирования по частям.
Для этого выражение подгоняется под формулу udv. Дифференцируя u находят du. Интегрируя dv находят v. Подставляют в формулу и решают. После получения решения выполняют обратную подстановку.
Ниже приведены некоторые часто встречающиеся интегралы с решениями. Попробуйте получить решения самостоятельно.
Вот еще несколько широко распространенных интегралов для решения:
Закрепите тему решением задач.
Задание 3 (стр 39)
Далее читайте о свойствах определенных интегралов.