Как и все ВПЛы (выпускники прошлых лет), я сдавал ЕГЭ в резервный день, поэтому не берусь вступать в спор с учителями и репетиторами, по нытью которых ЕГЭ в этом году оказался "очень сложным". В резервный день и в том варианте, который достался лично мне, практически всё оказалось легко до неприличия. И не надо тут ремарок, что легко, якобы, только для 32-летнего (без месяца) педагога-олимпиадника высшей категории с 15-летним стажем - разумеется, среднему выпускнику в чём-то сложнее, но в чём-то проще - ведь он целенаправленно готовится к экзамену, имеет возможность актуализировать те знания, которые ему понадобятся, а я прихожу со всеми, которые есть.
Сперва спою кучу дифирамбов коллегам, которые задействованы в проведении экзамена - математику я второй год подряд сдаю в ГБОУ СОШ 551 Кировского района Санкт-Петербурга, и чёткостью организации процесса восхищаюсь. Во-первых, у них есть максимально понятная навигация от входа на территорию до единственного открытого входа в школу (из внутреннего двора), что облегчает и ускоряет доступ на ППЭ. Во-вторых, вывешенные на крыльце списки (если бы меня не поторопили, я бы, как в прошлом году, посмотрел букву своего "класса" для внесения в бланк). В-третьих, гардероб с пакетом для всего запрещённого к проносу в ППЭ. В-четвёртых, безупречная навигация внутри школы (бумажки на стенах и бесконечное количество дублирующих их людей) - при спиралевидно-кольцевой структуре здания, без этого легко запутаться, особенно тупым ВПЛам.
Из негативного - только суета, когда "быстрее, быстрее, не успеете послушать инструкцию" - да я специально приехал как можно ближе к началу, потому что слушать эту инструкцию, написанную для идиотов, мне уже давно и откровенно надоело! Однако где-то каждый второй встреченный организатор считал своим долгом меня поторопить. На будущий год уже попробую прийти на ППЭ в 9:55, чтобы наверняка не застать инструктаж.
Небольшой блиц фактов об экзамене:
- тупейшая первая часть заняла 6 минут от начала до конца;
- задачи 13, 15 и 18 оказались сильно проще обычного;
- задача 19 прикольная, но тоже довольно простая, а первые два её пункта абсолютно берущиеся даже на "некружковском" уровне;
- в задаче 16 дали оптимизацию (что меня, явно в отличие от большинства сдающих, скорее порадовало - ненавижу все эти прогрессии с аннуитетными и дифференцированными платежами);
- в задаче 14 не было никаких шаров/сфер/цилиндров/конусов, простенький прямоугольный параллелепипед.
И только в планиметрии (задача 17) всё же случился пункт б) про окружность, с которым я не совладал. Потому что не дружен с этими вашими окружностями с детства!
С неё и начнём. Пункт а) этой задачи - дикий баян.
В ромбе ABCD точки K и L - середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что площадь треугольника APQ равна сумме площадей треугольников BPK и QDL.
Думаю, многие узнают эту задачу - она действительно довольно известная, я не вспомнил ни одного решения сходу, поэтому решил заново как-то криво и косо. Но интереснее пункт б), с которым я пока не справился:
Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найти её радиус, если известна сторона ромба.
Если не ошибаюсь, сторона ромба там была 6 корней из 5. Но это неважно.
Геогебра показывает, что положение, при котором вписанная окружность треугольника BCD касается отрезков PK и QL, это почти квадрат, но не совсем - углы этого ромба ничем не примечательны, кроме того, что "почти прямые", и с отношениями сторон меня пока ничего не осеняет. Буду рад, если кто-нибудь мне подскажет, что с этим можно сделать.
Задача №13 выглядела вот так. Наверное, без комментариев?
Неравенство и параметр я пока не восстановил, про них поговорим во второй части статьи-отчёта (после результатов). Но они оба значительно проще, чем обычно. Но самое интересное - всегда последняя задача.
Имеется 10 пятёрок, 10 четвёрок, 10 троек. Числа делят на две непустые группы, в каждом из которых считают среднее арифметическое: среднее арифметическое в первой группе назовём А, во второй группе В.
а) Приведите пример такого разбиения, в котором полусумма А и В окажется больше общего среднего арифметического всех чисел.
б) Докажите, что если группы равные по численности, то полусумма А и В всегда равна среднему арифметическому всех чисел.
в) Какое наибольшее значение может принимать полусумма А и В?
Пример, который я сходу привёл для пункта а), оказался оптимальным для пункта в), поэтому в чистовик я записал другой - не менее очевидный. Группу А соберём из всех пятёрок (тогда А=5), а в группе В оставим тройки с четвёрками (тогда В=3,5). Полусумма 4,25, а среднее арифметическое 4.
Пункт б), как мне кажется, вполне способен сделать некружковец (другое дело - как он будет мучаться с обозначениями и какие обозначения придумает). Там не требуется никаких сверхъестественных идей: просто сложили две дроби со знаменателем 15 и поделили их сумму пополам. Всё.
В пункте в) уже занудная техника оценок, это без подготовки пробить почти без шансов. Но никто не обещал, что в последней задачи простым смертным будет легко. Тем более, при таком подарочном параметре и бесхитростных 13 и 15.
Полное и аккуратное решение этой задачи читайте завтра в Телеге:
Восстанавливать №16 без сканов работы я тоже не готов, поэтому дождитесь второй части статьи. Напоследок стервá (задача №14):
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка О - середина грани A₁B₁C₁D₁. Сечения плоскостями АВО и ВСО - прямоугольники, в которых стороны АВ и ВС соответственно в два раза меньше других сторон этих прямоугольников.
а) Докажите, что ABCD - квадрат.
б) Найдите угол между прямой СА₁ и плоскостью ВСО.
Весьма несложно и относительно красиво (в первом пункте). Не думаю, что моё решение оптимально, но оно мне умеренно нравится.
Про мой прошлогодний опыт сдачи ЕГЭ по математике читайте здесь:
В этом сезоне выйдет ещё статья про информатику, а потом - по результатам обоих экзаменов.