Шикарную иллюстрацию на тему того, почему заниматься в кружке якобы "олимпиадной" математики максимально полезно и просто необходимо для успешной сдачи, в том числе, профильного ЕГЭ по математике, мне рассказала (вернее - показала) коллега. С её ученицей, героиней истории, я не знаком, мне только показали роскошную 19 задачу в интерпретации этой девочки - и я сразу увидел в ней про... потраченные вникуда таланты.
Вот сама задача:
Хорошая, кстати, простая задача для кружковцев где-то второго года обучения. В 6-7 классе они такое за милую душу решают. Но что если выпускник никогда не занимался в кружке? В школе их толком никто не учит теории чисел. И даже вместо делимости у них там "делится нацело" или "делится без остатка". И эта безумная запись из начальной школы 23 : 5 = 4 (ост. 3), за которую сразу хочется отрывать руки как школьнику, так и научившему его так писать учителю.
Но самое крутое - это обозначать остаток от деления тремя точками. Буквально: остаток от деления 20 на 3 - это 20 ⋮ 3. Такому-то уж точно не могли учить даже в школе! В кружке могли (должны были) научить, что этим знаком обозначается делимость: например, 21 ⋮ 3 - означает "21 делится на 3". Но откуда взялось это обозначение для остатка? 20 ⋮ 3 = 2, 21 ⋮ 3 = 0 - именно так писала эта девочка. Ну ведь не могли же её этому учить?
Однако, я своими глазами почитал работу, девочка ровно такие обозначения использовала, причём по умолчанию. Значит, ей почему-то показалось, что так и принято. В двух последних классах её таким обозначениям точно не учили. Когда-то и где-то раньше?.. А почему бы тогда было не научить нормальному обозначению сравнимости по модулю?
В своих странных обозначениях девочка, к сожалению, естественно, запуталась. Поняв (и хорошо объяснив) основную идею задачи - что все исходные числа дают одинаковые остатки при делении на 3, на 4, на 5 и на 6 - она, вместо того, чтобы мгновенно сделать очевидные любому кружковцу выводы (а) 30032 и 312 дают разные остатки при делении на 6; б) 30032 не делится на 6, а то, которое в 6 раз кого-то больше - делится), погрузилась в пространные вычисления всяких остатков, которые (мне кажется, что именно из-за неправильной записи) зашли в тупик. Пункт в) она, кажется, всё-таки решила, но то ли из-за обозначений, то ли из-за критериев (запрещающих зачитывать в) при несделанном б)) его ей не зачли.
А как нормальный кружковец решает пункт в)? Раз все исходные числа попарно сравнимы по модулям 3, 4, 5 и 6, то они попарно сравнимы и по модулю их НОК (наименьшего общего кратного), которое равно 60. Число 30032 сравнимо с 32 по модулю 60, то есть все числа имеют вид 60k+32. Рассмотрим отношение двух чисел такого вида:
Сократив числитель и знаменатель на 4, получаем:
Очевидно, что знаменатель взаимно прост с 15, поэтому числитель делится на знаменатель только в случае, если m-k на него делится. Отсюда значение дроби не меньше 15, а тогда n не меньше 16. Пример есть: k=0, m=8. Готово.
На этом месте мои дорогие кружковцы-старшеклассники поймут, что "китайку" мы, может быть, и для красоты учили, но сравнимость по модулю - это важно и полезно, коль скоро даёт сразу 4 первичных балла на ЕГЭ! А все те, кто прошёл мимо кружков, скорчат недовольную рожу и напишут комментарий, что Иван Валериевич сотоварищи составляют ЕГЭ для кружковцев (хотя, вообще-то, речь только об одной - или двух - задачах, которые нескрываемо позиционируются "не для всех").
Задача №19 - это не сложно, но требует подготовки. Не натаскивания за месяц-полгода-год до экзамена, а хорошей базовой подготовки в кружке. С 4-6 класса начиная. Если начать вовремя, то на этих безумных ровесников с квадратными от ужаса глазами перед ЕГЭ вы будете смотреть со спокойствием одной моей выпускницы, которая ещё в конце девятого на вопрос "А ты знаешь *какую-то тему*?" ответила "Я знаю всё". И ведь даже не обманула - за ОГЭ она набрала максимальный балл и два года спустя свою "соточку" на ЕГЭ честно заработала...
Поэтому, друзья, если хотите, чтобы Ваши дети знали математику - отдавайте их в кружок. В средней школе сегодня это практически необходимость, если только они учатся не в одной из примерно 100 школ на страну, где и без кружка дадут достаточно знаний, и кружки свои обязательно имеются.
Подписывайтесь на мой канал в Telegram, там регулярно публикуются задачи и их решения, а также время от времени появляется информация о моих проектах (в том числе - совершенно бесплатных для участников) и кружках.
P. S. Сегодня я в очередной раз сдал ЕГЭ сам - послезавтра здесь выйдет статья с моими впечатлениями.