В комментариях к предыдущему моему посту @Deza попросил меня крупными мазками обрисовать ни много ни мало, теорию Галуа. Вызов принят! Получилось уложиться чуть меньше чем в 300 слов и результатом я вполне доволен, так что я решил сделать из ответа отдельный пост. Ещё раз благодарю читателей за интерес и интересные вопросы.
Итак, поехали!
Для корней алгебраических уравнений могут выполняться различные алгебраические тождества, такие, например, как теорема Виета, те или иные тригонометрические соотношения (если корни выражаются через тригонометрию) и т. д. Для каждого уравнения они будут своими. При этом перестановки корней могут либо нарушать какие-то из этих тождеств, либо оставлять их справедливыми.
Как известно, перестановки могут образовывать группы с операцией композиции. Для заданного уравнения перестановки, сохраняющие все алгебраические соотношения между корнями, образуют группу, которая называется группой Галуа этого уравнения.
Для явного числового выражения корней алгебраических уравнений используются расширения радикалами (корнями различных степеней) некоторого базового поля (обычно поля рациональных чисел), которому принадлежат коэффициенты уравнения. Сами эти расширения тоже обладают внутренней групповой структурой, а именно группой автоморфизмов (преобразований, отображающих поле на самом себя).
Теория Галуа устанавливает соответствие между группой Галуа для алгебраического уравнения и группой автоморфизмов расширений поля, необходимого для явного выражения корней уравнения.
Минимально расширенное поле, в котором мы хотим выразить корни какого-то уравнения, должно содержать в себе те же симметрии, которыми обладают эти корни, то есть группа Галуа уравнения должна совпадать с группой автоморфизмов поля.
Наконец, группы сами обладают внутренней структурой, например, «раскладываются на множители», то есть факторизуются нормальными подгруппами, или имеют определённую структуру подмножеств. Теория Галуа показывает, что корни алгебраического уравнения можно выразить в виде элементов некоторого расширения числового поля (уравнение разрешимо в радикалах) только тогда, когда группа Галуа для него имеет определённую структуру, а именно имеет цепочку подгрупп, которые факторизуют друг друга и при этом являются абелевыми (коммутативными).
В самом общем случае уравнения степени n имеют группу Галуа Sₙ (группу всех перестановок порядка n). При этом в симметрических группах S₂, S₃ и S₄ все подгруппы, образующие вложенные друг в друга факторизующие цепочки, абелевы. Начиная с группы S₅, в структуре подгрупп появляется неабелева нормальная подгруппа A₅, которая может стать препятствием для образования необходимой цепочки, а значит, не даст построить конечную цепочку расширений поля до такого, в котором корни уравнения пятой степени смогут сохранить свою группу Галуа.
При этом какие-то уравнения пятой степени и выше вполне разрешимы, поскольку разрешимы их группы Галуа, тот есть, они раскладываются необходимым образом.
Почувствовал себя каким-то ИИ, только круче, потому что «Малыш, ведь я же лучше собаки?»