Точка М лежи внутри угла, равного а, на расстоянии а и b от сторон этого угла. Определите расстояние от точки М до вершины этого угла.
Теория:
1) Расстоянием от точки до прямой называется перпендикуляр, опущенный из этой точки к прямой. МВ перпендикулярно СВ и МА перпендикулярно СА.
4) Если суммы противоположных углов в четырехугольнике равны 180 градусам, то около такого четырехугольника можно описать окружность.
5) Окружность называется описанной около многоугольника, если она касается всех его вершин.
Это определение не раз пригодится нам при решении задачи.
6) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине гипотенузы.
Решение:
1. Заметим, что угол В + угол А =180 градусов, следовательно угол С + угол М = 180 градусов. Значит, около четырехугольника АМВС можно описать окружность.
2. Окружность, описанная около четырехугольника АМВС, будет также описана и около прямоугольных треугольников САМ и СМВ, а также около треугольника АВМ (т.к. касается всех их вершин).
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники САМ и СВМ. Как было сказано в пункте 2, центр окружности, описанной около этих треугольников, находится посередине гипотенузы, т.е. в середине отрезка СМ. Поскольку СМ – это и есть искомое расстояние от точки М до вершины угла альфа, чтобы найти его, нам нужно вычислить 2R описанной окружности.
4. Найдем радиус описанной окружности из треугольника АВМ (т.к. наша окружность описывает и этот треугольник):
5. Найдем АВ по теореме косинусов, применив ее к тому же треугольнику АВМ:
6. По условию задачи нам условно известны значения а и b, но неизвестен косинус угла между этими прямыми. Для того чтобы выразить его через косинус угла альфа, применим тригонометрические тождества:
Таким образом, подставляя вместо косинуса угла М косинус угла альфа, мы меняем знак на противоположный и получаем следующее выражение отрезка АВ:
7. Найдем расстояние от точки М до вершины угла, которое, как мы уже говорили, равно отрезку СМ:
Задание номер 1 из этой контрольной работы здесь, а задание номер 2 – здесь.
Ставьте лайк, если материал был полезен, и подписывайтесь на канал)
Учитесь с удовольствием!
#геометрия9класс
#теоремакосинусов
#решениеконтрольнойработы
#теоремасинусов9класс
#подготовка9класс