Даны точки А(-1;4), В(1;-2), С(0,-4), D(2,2), E и F – середина AB и CD соответственно. Найти угол между прямыми EF и CD. Вычислите
Прежде чем приступать к решению задачи, вспомним необходимую нам для этого теорию.
1)Если вектор задан двумя точками, то координаты вектора вычисляются как разность координат его конца и начала:
2) Длина вектора ест корень квадратный из суммы квадратов его координат:
3) Скалярное произведение векторов может быть найдено как через их координаты, так и через длины векторов и косинус угла между ними.
Решение:
Когда мы решаем задачи в координатах, полезным будет начать с вычисления координат и длин векторов.
Лучше записывать эти значения в столбик. Такая запись наиболее наглядна и удобна для вычислений.
В задачах школьного курса часто используется прием решения через составление уравнения. В нашей задаче такое уравнение можно составить благодаря тому, что мы можем выразить скалярное произведение векторов как через их координаты, так и через их длины.
Итак, мы получили отрицательный косинус, это значит, что угол тупой.
И здесь можно было бы закончить решение этой части задачи и, дав ответ 135 градусов, прийти к неверному решению. Однако мы вспомним, что
углом между векторами называется меньший из углов, образуемых ими при пересечении
Поэтому угол между векторами EF и CD должен быть вычислен по формуле 180-135=45.
Теперь найдем разность произведений векторов:
Нам известны координаты векторов, а это значит, что мы можем вычислить нужное нам значение через них.
Задача решена)
Если сегодняшний урок был полезен, не забудьте поставить лайк!
#геометрия9класс
#скалярноепроизведениевекторов
#решениеконтрольнойработы
#векторы9класс
#подготовка9класс