Обыкновенные дроби были рассмотрены в статье: Конспект № 18. Тема: «Обыкновенные (простые) дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные дроби (смешанные числа)».
Десятичные дроби были рассмотрены в статье: Конспект № 32. Тема: «Десятичные дроби».
Преобразование обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби
При преобразовании обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби нужно учитывать следующий момент: в десятичной дроби после запятой столько же цифр, сколько нулей в знаменателе равной ей обыкновенной дроби.
Ввиду вышеизложенного, при переводе обыкновенной дроби в десятичную предварительно слева в числителе обыкновенной дроби дописывается такое количество нулей, чтобы общее количество цифр стало равно количеству нулей в знаменателе; в искомой десятичной дроби целая часть равна нулю, дробная часть (знаки после запятой) – число из числителя вместе с дописанными нулями.
Разберем решение еще одного примера.
Чтобы перевести неправильные обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби нужно записать число из числителя и отделить запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби
Чтобы перевести смешанные числа со знаменателем дробной части 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби нужно перед преобразованием дробную часть видоизменить так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым (дописывается необходимое количество нулей слева в числителе); в искомой десятичной дроби целая часть равна целой части смешанного числа, дробная часть (знаки после запятой) – число из числителя преобразованной дроби.
Таким образом, если возможно посредством умножения числителя и знаменателя данной обыкновенной дроби на одно и то же число, получить в знаменателе число кратное 10 (то есть 10, 100, 1000 и т.д.) то таковую обыкновенную дробь можно превратить в десятичную.
Преобразование обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби
В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д., но и обыкновенные дроби с другими знаменателями.
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, надо числитель данной дроби разделить на ее знаменатель. При этом деление выполняется так же, как деление столбиком натуральных чисел, но когда заканчивается деление целой части делимого, то в частном ставится запятая.
Если дана смешанная дробь и таковую надо перевести в десятичную дробь, то целая часть остается той же, а числитель делится на знаменатель и добавляется в часть после запятой, или смешанное число переводится в неправильную дробь и выполняется деление числителя данной неправильной дроби на ее знаменатель.
Рассмотрим для приведенного выше примера другое решение.
Может случиться, что при делении числителя на знаменатель обыкновенной дроби так и не получится в остатке 0, то есть деление будет продолжаться сколь угодно долго. Однако, начиная с некоторого шага, остатки начнут периодически повторятся, при этом соответственно будут повторятся и цифры в частном.
Итак, при делении столбиком одного натурального числа на другое, возможно только два исхода: либо в строке остатка получается ноль, либо остаток начинает периодически повторяться. В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае – бесконечная периодическая десятичная дробь.
Конечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).
Бесконечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записи которых находится бесконечное множество цифр (в их записи ограничиваются лишь некоторым конечным числом цифр после запятой и ставят многоточие).
Периодические десятичные дроби (или периодические дроби) – это бесконечные десятичные дроби, в записи которых, начиная с некоторого знака после запятой, бесконечно повторяется какая-нибудь цифра или группа цифр, которую называют периодом дроби.
Для бесконечных периодических десятичных дробей принята особая форма записи – период записывается один раз и заключается в круглые скобки.
Непериодические десятичные дроби (или непериодические дроби) – это бесконечные десятичные дроби, не имеющие периода.
В заключение отметим:
- Если несократимую обыкновенную дробь можно привести к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т.д., то есть если в знаменателе содержаться только простые множители 2 и 5 (так как 10=2*5, 100=2*2*5*5 и т.д.), то данную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь.
- Если кроме чисел 2 и 5 в разложении знаменателя несократимой обыкновенной дроби присутствуют другие простые числа, то данная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь.
Предыдущая статья: Конспект № 32. Тема: «Десятичные дроби».