Я рад, что два человека сумели дать разные (и оба правильные) варианты решений. И вдвойне рад, что в обоих решениях была применена "волшебная формула"*, полученная ранее в задаче про баскетболиста [1,2]. Собственно, эта задача и была предназначена для её закрепления в сознании, как очень полезного рабочего инструмента. Но даже с её применением, судя по реакции других читателей (её отсутствию), представленные решения получились с перекосом в сторону манипулирования математическими выражениями и, вероятно, оказались непонятны читателями. А уж без использования этой формулы решения стали бы еще более труднопроходимыми математически, поскольку в данной задаче оптимизация должна происходить сразу по двум параметрам - углу наклона берега и положению точки броска на нём. Это намного сложнее. Именно применение "волшебной формулы" позволило свести задачу к оптимизации лишь по одному параметру.
Предлагая своё решение данной задачи, я воспользуюсь не только "волшебной формулой", но также еще одним важным связанным с ней результатом, полученным во второй задаче про маленького жонглера [3]. Такое решение получается относительно длинным, но в нём с моей точки зрения физика и математика находятся в большей гармонии, а также прослеживается определенная преемственность и системность, к которой я стремился, последовательно выкладывая задачи. Чтобы легче было следить за ходом данного решения, давайте сначала рассмотрим его суть.
Понятно, что нам достаточно добросить камень лишь до кромки противоположного берега, в которую мы поместим начало системы координат О(0,0). Далее мы, аналогично задаче из [3], произведем разделение вертикальной плоскости на две области - первую область, при броске из точек которой нельзя попасть в точку О, и вторую область, из точек которой можно добросить до точки О. Всё это иллюстрируется рисунком:
После этого мы уже сможем дать ответы на поставленные в задаче вопросы, определив, при каких углах наклона линия берегового склона (её часть или хотя бы одна точка) попадет в область, из которой можно попасть в точку О. Вот таков план решения. При данном подходе, есть возможность в ряде случаев относительно просто (хотя бы графически) находить ответ на главный вопрос задачи для тех вариантов, когда склон берега представляет собой более сложную линию, чем прямая. Я очень хочу, чтобы решение было понятным в деталях, и поэтому буду делать экскурсы к упомянутым выше задачам.
Теперь можно приступить к решению.
Начинаем строить границу обозначенных областей. Для этого обратимся к задаче [3]. Там надо было найти границу между двум областями - областью, в точки которой можно попасть, бросая камень из начала координат О, и областью, куда попасть нельзя (см. рис. ниже).
Короткое решение данной задачи получается с использованием "волшебной формулы" из задачи про баскетболиста [1,2]. Согласно этой формуле минимальная скорость V, при которой, броском тела из начала координат О(0,0), можно попасть в точку F с координатами (X,Y), связана с этими координатами соотношением:
где g - ускорение свободного падения.
Нетрудно понять (в чём, собственно, и была изюминка задачи из [3]), что для фиксированной скорости V, эта формула, создаёт зависимость между X и Y, которая определяет уравнение той самой линии раздела областей. Применяя простые преобразования выражения (1) и попутно избавившись в нём от V и g (с помощью известной со школы формулы для максимальной дальности броска d: d=V²/g), мы можем получить канонический вид функции границы раздела Y=f(X), которая оказывается "перевернутой" параболой (2).
Из формулы (2) понятно, что пересечение границы раздела областей с осью x происходит в точках d и –d, и это соответствует максимальной горизонтальной дальности броска.
Но в нашей новой задаче камень бросается не из начала координат, а наоборот, в начало координат! Как же тогда можно воспользоваться той же формулой? Это первый тонкий момент (и оба читателя, решивших задачу, его использовали). Идея состоит в том, что мы для каждого броска из точки с координатами (X,Y) в начало координат (0,0), берём и временно переносим начало координат в точку броска. Тогда координаты точки прилета будут (-X,-Y), а точкой броска станет начало координат (0,0), что и нужно для использования "волшебной формулы". Следовательно, для скорости V и координат (-X ,-Y) "волшебная формула" будет справедлива в следующем виде:
или:
Таким образом, мы получили формулу (4), которая определяет минимально возможную начальную скорость броска из точки с координатами (X,Y) в начало координат (0,0). Аналогично [3], эта формула одновременно описывает границу областей "попадания" и "недолета" для бросков теперь уже в начало координат. Если её также привести к каноническому виду, получится следующее выражение (5), где d – та самая максимальная дальность броска по горизонтали.
То есть, в итоге мы также получили параболу, которая, в отличие от броска из начала координат, своей вершиной обращена не вверх, а вниз.
Для одной и той же начальной скорости броска (одинаковой дальности броска по горизонтали) обе параболы одинаковы, только развернуты относительно друг друга на 180 градусов.
Интересно, что если первая парабола образована концами траекторий бросков из начала координат в точки, принадлежащие границе (в качестве примера приведенных под номерами 1...10), то вторая парабола будет образована началами ЭТИХ ЖЕ траекторий (1-10), если их параллельно переместить по плоскости, собрав все концы в точке О. В этом состоит физическое родство полученных выше формул. Из формулы (5) также понятно, что пересечение границы раздела областей с осью x происходит в точках d и –d.
Несмотря на то, что использованные и полученные формулы достаточно просты, всё описанное выше, наверное, является самым сложным для понимания. Но я считаю идею нахождения границы раздела одной из важнейших в данной задаче и надеюсь, что дал максимум пояснений.
Теперь остается более простая часть - наложить найденную нами параболу раздела областей на рисунок с рекой и посмотреть, при каком минимальном угле наклона линии берегового склона, она еще будет иметь хоть одну общую точку с той областью, откуда можно добросить камень до начала координат.
При наложении построенной нами параболы на рисунок с рекой и берегами, он будет иметь вид, изображенный ниже (D-ширина реки, d- максимальная горизонтальная дальность броска). Я специально не стал брать d равным половине D, как в условии задачи, чтобы сначала получить результаты в общем виде.
Очевидно, что минимальный допустимый угол наклона линии берегового склона соответствует случаю, когда она является касательной к границе раздела областей. В этом случае на склоне остаётся единственная точка их касания, из которой можно добросить до точки О.
Теперь нам надо определить параметры касательной к параболе, проходящей, через точку D (кромку правого берега). Можно действовать разными способами. Например, с помощью системы уравнений. Для этого записываем в аналитическом виде две исходные линии (параболу и прямую), точку касания которых нужно найти.
После этого составляем систему из двух уравнений – первое выражает равенство ординат функций в точке касания, а второе – равенство производных функций в точке касания.
Из второго уравнения выражаем X через k : X=d∙k и подставляем в первое. Далее производим простые преобразования и в итоге получаем квадратное уравнение, имеющее два корня (6).
И действительно, через точку D к параболе можно провести две касательные, однако одна из них касается параболы ниже уровня воды в реке. Поэтому остается только единственное физически верное решение:
Это хоть и простое решение, однако надо знать производные. Производные от прямой и параболы - элементарные вещи, но я, как и многие возрастные читатели, в школе их не проходил. Поэтому предложу альтернативный вариант решения, использовавшийся еще в "советской" школе.
Фактически нам надо найти такой наклон линии берега, чтобы она имела ТОЛЬКО ОДНУ общую точку с параболой. Это означает, что квадратное уравнение, дающее точки пересечения параболы и прямой линии наклона берега, должно иметь дискриминант, равный нулю. Таким образом, мы сможем обойтись только одним первым уравнением из составленной ранее системы, отказавшись от уравнения для равенства производных. Итак, мы имеем уравнение для равенства ординат параболы и прямой:
После несложных преобразований приводим его к стандартному виду, для которого дискриминант имеет известное выражение. Находим его и приравниваем нулю:
В результате получаем абсолютно такое же квадратное уравнение для k (9), то есть, имеем те же два корня, один из которых отбрасываем.
Итак, мы получили общее аналитическое выражение для тангенса угла наклона берега, при котором найдется одна точка, из которой можно добросить до противоположного берега:
Нетрудно видеть, что полученное выражение для k не может принимать значение меньше единицы, которая достигается только при D/d=1. То есть, даже если камень лишь совсем-совсем немного не долетает до противоположного берега (D/d≈1), то всё равно требуется угол наклона немного больше 45 градусов (tg45º=1), чтобы появилась надежда, взобравшись чуть повыше, докинуть до другого берега! Это ответ на первый вопрос задачи.
Для ответа на второй вопрос нужно в полученное выражение для тангенса подставить заданное в задаче условие: D/d=2. И мы получаем, что тангенс минимального угла наклона равен 2+√3, а сам угол, соответственно, будет равен arctg (2+√3).
Можно, конечно, остановиться на этом. Но я дал подсказку, что есть возможность получить численное значение этого угла без калькулятора. Давайте это сделаем.
Намёком на то, по какому пути можно пойти, является минимальный угол, с которого вообще появляется хоть какая-то возможность увеличить дальность броска. Этот угол наклона равен 45 градусов. Давайте найдем, на какую величину требуемый нам угол α больше этого минимального угла. То есть, посмотрим, чему равен угол α-45°. Для этого применим из тригонометрии формулу тангенса разности двух углов:
Из школы мы знаем, что полученное значение тангенса соответствует углу 30°. Следовательно, искомый угол равен α=45°+30°=75°. Это и есть ответ на второй вопрос задачи.
P.S. Я потратил очень много сил на написание этого решения, чтобы оно получилось максимально понятным. И всё равно не уверен, что достиг цели (или, наоборот, перестарался, приняв читателей за двоечников). Наверное, я уже больше так не буду выкладываться...
Возможно, правильней было написать примерно так:
Из результатов анализа предыдущих задач [1,2,3] может быть получена формула для границы раздела областей, откуда можно попасть на кромку другого берега, и откуда - нельзя. Граница этих областей - парабола. Минимальный угол наклона линии берега, при котором она имеет хоть одну общую точку с областью, откуда можно добросить до противоположного берега, соответствует случаю, когда линия берега касается разделяющей параболы. Составляем систему уравнений и находим касательную к параболе, проходящую через правую кромку реки. Получаем тангенс угла её наклона, а затем и сам угол.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Речь идет о формуле V²=g∙(Y+√(X²+Y²)), определяющей минимально допустимую начальную скорость V брошенного из начала координат тела, при которой оно еще сможет попасть в точку с координатами X,Y.
1. "Забавная задачка" с серьезным результатом