новелла из серии «по следам "Новой физики"» с тремя вступлениями, прологом и "забавной" задачкой..
Вступление первое. Как эта задача связана с "Новой физикой" (можно пропустить)
Задачу, о которой пойдет речь, предложила Юлия - одна из участниц дискуссий, возникавших под публикациями на канале "Новая физика". И сопроводила она её словами: "хотите забавную задачку на оптимизацию?"
Я не сразу оценил значимость этой любопытной задачи, но сейчас считаю её "системной" и поэтому посвящаю ей публикацию у себя, чтобы она не пропала в "болоте", которым стал упомянутый выше канал.
Первоначально задача поразила меня тем, что ответ к ней по простоте соответствовал её условию, чего, увы, нельзя было сказать о той последовательности из формул, которую пришлось написать для его получения. Чуть другим, но столь же длинным путём прошел до ответа и Уолли Тонт. Юлии даже пришлось нас "утешать" тем, что она тоже не знает короткого пути решения, и напомнить слова Евклида - "в геометрии (и в физике тоже) нет царских путей".
Только позднее, продолжая попытки найти простое решение, я осознал, насколько важна эта "забавная" задача! Она является ключом к решению многих сложных задач на кинематику, делая их доступными школьнику. Две из них я предложу в других выпусках.
Вступление второе, с психологическим уклоном (тоже можно пропустить)
Я неожиданно для себя заметил, что многие люди, имеющие хорошее математическое образование, вдруг теряются перед по сути математической задачей, в тексте которой используются термины, имеющие отношение к физике, даже если речь идет о школьном материале. На них эти термины действуют, как некий гипнотический знак, что данная задача находится "вне их сферы компетенции".
Такой психологический барьер, вероятно, берет начало еще в школе с изучения первого раздела физики - кинематики. Здесь вот что интересно. Математики решают и сами придумывают задачи на движение (расчеты различных скоростей, времени до некой условной встречи, пройденного замысловатого пути и т.д.) - и считают это всё МАТЕМАТИЧЕСКИМИ задачами. Но как только речь заходит о движении с постоянным ускорением, то у них возникают проблемы, поскольку в средних классах такое движение начинают рассматривать уже не на уроках математики, а на уроках физики. После этого "будущие математики" перестают узнавать в задачах на кинематику их родные математические задачи, которые можно решить, не употребив ни одного чисто физического термина. Поэтому ту же задачу, которая была предложена Юлией, я постараюсь изложить и в форме, адаптированной специально для математиков. Правда, тогда в ней уже не видна её методическая ценность.
Вступление третье - важное (читать обязательно)
Рассматриваемая задача относится к задачам "на бросание". Здесь нет ни масс, ни сил, ни импульса, ни энергии, а только простые математические функции, описывающие движение.
Давайте вспомним самые основы, относящиеся к свободному движению тел в постоянном поле тяготения (т. е., при отсутствии других влияющих факторов). Чем характерно такое движение?
Выделим его свойства применительно к анализу движения тела в вертикальной плоскости, где ускорение тяготения направлено точно вниз.
Главные положения и формулы, из которых следует всё остальное, примитивны до безобразия и выглядят так:
Повторюсь, из этих положений выводятся все известные со школы кинематические формулы, описывающие свободное движение в поле тяжести.
Я рекомендую для более подробного ознакомления с материалом посмотреть видеоурок https://dzen.ru/video/watch/6607c2b6a4f78730c565a1e6 и посмотреть решение задач на движение тел, брошенных под углом к горизонту https://dzen.ru/suite/a3223275-47c8-414c-8f81-457c4d0a41fb
Пролог. Какие задачи на бросание тела "так и просят" обобщения
Первые приближенные к практике школьные кинематические задачи, где появляется ускорение, это задачи на вертикальное падение или бросание тел.
Главная формула, описывающая такие процессы, имеет вид:
V²=2∙g∙H
Для падения тела вниз с высоты H она определяет скорость V, которую приобретет тело в конце падения (начальная скорость считается равной нулю). Для бросания тела вверх со скоростью V она определяет высоту H, на которой скорость тела обратится в ноль.
Вот еще пара задач, для которых приведенная формула сразу даёт ответ. Они нам сейчас интересней и звучат так:
1. Какой максимальной высоты Y достигнет тело, брошенное вертикально вверх со скоростью V?
2. С какой минимальной скоростью V можно бросить тело вверх, чтобы оно достигло высоты Y?
Давайте продолжим данную логику к задачам на бросание тела под углом к горизонту. Известна формула для дальности бросания тела, при условии, что в конце своего полета тело окажется на той же высоте, с которой стартовало:
Здесь уже появляется одна "степень свободы" - выбор угла, под которым производится бросание. Легко понять, что максимальная дальность достигается, когда тело бросается под углом 45 градусов к поверхности. И в этом случае мы также приходим к двум родственным задачам, для решения которых используется единая формула.
3. На какую максимальную дальность X может улететь тело, брошенное со скоростью V?
4. С какой минимальной скоростью V можно бросить тело, чтобы оно смогло улететь на расстояние X?
Увы, эта формула немного отличается от предыдущей отсутствием двойки... но душа так и просит обобщения.
И это обобщение пришло вместе с задачей, которую предложила Юлия. А задача была сформулирована так:
<<Баскетболист находится на расстоянии L от кольца, находящегося на высоте H. С какой минимальной скоростью он может бросить мяч, чтобы все-таки попасть в кольцо? Ускорение свободного падения g известно>>.
Теперь непосредственно сама задача,
которую я хочу предложить читателям. Она немного обобщает задачу Юлии.
Имеется вертикальная плоскость с началом координат O и стандартными осями "x,y", во всех точках которой действует ускорение силы тяжести g>0, направленное вертикально вниз. На плоскости также задана точка F с координатами X и Y. Какой минимальной начальной скоростью V может обладать тело, вылетевшее из начала координат, чтобы оно смогло попасть в точку F? Интересен также ответ на вопрос, под каким углом должно при этом вылететь тело? Но это уже факультативно.
Чем интересна эта задача, кроме того, что она обобщает все предыдущие задачи? Когда Вы её решите, то поймете, что точка F может находиться где угодно на плоскости, то есть, X и Y могут принимать и отрицательные значения, а итоговая формула всегда даст правильный ответ! Чего, например, нельзя сказать про формулу V²=2∙g∙Y, для которой при отрицательном Y получается отсутствие решения. А на самом деле, минимальная скорость V для этого случая просто равна нулю, поскольку достаточно лишь просто отпустить тело свободно падать вниз (напомню, что V≥0).
Также получаемая в задаче обобщенная формула сможет напрямую дать ответы и на следующие вопросы.
5. Какую максимальную высоту может иметь траектория брошенного со скоростью V тела на удалении X от точки старта?
6. Какая максимальная дальность от точки старта может быть у брошенного со скоростью V тела в момент, когда оно находится на высоте Y?
Она может быть использована и при решении ряда других задач.
Теперь формулируем эту задачу для математиков.
Друзья, итоговая формула этой задачи уже была представлена в комментариях на канале "Новая физика". Вы можете получить свою формулу и выложить здесь. Для меня сейчас важнее всего поиск наилучшего решения. Понимая, что комментарии в Дзене не рассчитаны на набор текстов с формулами, прошу, если вы осилите задачу, то постарайтесь хотя бы сфотографировать ваши выкладки и приложить их к ответу.
