С момента публикации задачи прошло достаточно времени, и наверное дальнейшей активности читателей уже не будет. Значит можно подвести определенные итоги и раскрыть карты. Я благодарен всем, кто принял активное участие в поиске решений и их обсуждении, поскольку это позволило найти решение также и факультативной задачи, для которого достаточно знаний математики в объёме восьми классов.
Изначально я собирался выложить простое решение (адекватное по краткости итоговой формуле) лишь для основной задачи. А для факультативного вопроса к ней (про угол вылета) собирался применить-таки тригонометрию и дифференцирование примерно так, как это сделал Владимир Тер-Григорян (я прошел аналогичный путь, когда в первый раз столкнулся с задачей). Либо думал вообще не приводить это решение, поскольку оно по простоте "не гармонировало" с решением основной задачи. Собственно, поэтому я и выделил вопрос про угол вылета, как факультативный.
Но читателей заинтересовал и этот вопрос. Полученные ими формулы, вместе с их последующим обсуждением помогли найти путь к ответу, для которого также достаточно знаний математики в объёме 8 классов. Поэтому сейчас я уже могу ознакомить читателей с решениями как основной, так и факультативной задачи, использующими самый простой математический аппарат.
Итак, была предложна следующая задача.
Имеется вертикальная плоскость с началом координат O и стандартными осями "x/y", во всех точках которой действует ускорение силы тяжести g>0, направленное вертикально вниз. На плоскости также задана точка F с координатами X и Y. Какой минимальной начальной скоростью V может обладать тело, вылетевшее из начала координат, чтобы оно смогло попасть в точку F?
Интересен также ответ на вопрос, под каким углом должно при этом вылететь тело? Но это уже факультативно.
Предложенная задача может быть решена разными способами. Мы начнем её решение с классической системы уравнений 1)...3), связывающей между собой координаты X и Y точки F, время полета t, искомую скорость V и её проекции Vx и Vy на оси "x/y". Эту систему уравнений можно также записать в виде равенств 4)...6), где в левых частях стоят только скорости.
Следует подчеркнуть, что в написанных системах уравнений t НЕ является переменной величиной, описывающей непрерывный процесс движения тела во времени, а представляет собой одну из четырех неизвестных величин (V, Vx, Vy, t), равную времени полета тела то дочки F. Это еще больше делает данную задачу скорее математической, чем физической. То есть, физика в предлагаемом решении начинается и заканчивается уравнениями 1)...3).
После этих вводных можно приступить к решению.
Используя равенства 4) и 5), получим выражения для квадратов скоростей Vx и Vy и подставим их в 6). После раскрытия скобок и перегруппировки слагаемых получаем.
Выражение 7) практически сразу приводит нас к ответу на первый вопрос задачи. Чтобы убедиться в этом, преобразуем его следующим образом.
Первое слагаемое в правой части формулы 8) неотрицательно и обращается в ноль при конкретном неотрицательном значении t , которое определяется из соотношения:
Второе слагаемое правой части формулы 8) содержит только фиксированные величины. Таким образом, минимально возможное значение V² соответствует нулевому значению первого слагаемого и, следовательно, V² равно второму слагаемому:
Итак, ответ на основной вопрос задачи получен. Я специально оставил его в виде соотношения для квадрата скорости, аналогичного тем, которые ранее приводил для случаев бросания тела вертикально вверх или "по горизонтали", чтобы в формуле не было двойных радикалов.
Легко убедиться, что выражение 10) при подстановке X=0 или Y=0 переходит в соответствующие равенства, приведенные в прошлой публикации. Но новое выражение работает при всех возможных положениях точки F на плоскости бросания! Например, для положения точки F строго под началом координат (X=0, Y<0) скорость оказывается равной нулю, то есть, надо просто позволить телу свободно падать без начальной скорости.
Остается факультативный вопрос.
В принципе, направление вылета тела полностью определяется проекциями начальной скорости тела V на оси координат - Vx и Vy, которые теперь легко найти с помощью формул 4) и 5), подставляя в них значение t, полученное из выражения 9).
Но по условию нам надо найти сам угол вылета. А для этого, как станет ясно далее, достаточно знать лишь отношение Vx к Vy. Давайте найдем его.
Откуда из 11) и 12) для отношения Vx к Vy получаем:
Остается от отношения скоростей перейти к углу вылета.
Для определенности будем искать угол α между направлением вектора V и вертикалью. Потом станет понятно, почему этот угол более "нагляден". Если затем потребуется найти угол вылета относительно горизонтали, то он будет равен π/2 - α.
В соответствии с геометрией треугольника скоростей на старте, угол α можно найти как арктангенс отношения Vx к Vy (смотри рисунок ниже). И мы приходим к выражению для угла вылета α через заданные в условии задачи величины X и Y.
Тригонометрическая формула для угла вылета хороша тем, что она верна для всех значений X и Y (как положительных, так и отрицательных) за исключением случаев, когда угол вылета не определен однозначно (X=0, Y≤0), поскольку в этом случае тело нужно просто отпустить свободно падать с нулевой начальной скоростью. Универсальность формулы становится возможной благодаря тому, что Vy никогда не принимает отрицательных значений, то есть, угол вылета всегда находится в верхней полуплоскости.
Надо сказать, что полученная в таком виде тригонометрическая формула не дает наглядного представления об угле вылета.
Поэтому давайте выразим угол вылета, не через X и Y, а через угловое направление на точку F, которое также будем отсчитывать от вертикали. Для нахождения ответа в такой форме тригонометрия не требуется, и можно обойтись математическими знаниями уровня 8 класса. Собственно, ответ на факультативный вопрос я хотел увидеть именно в таком виде, но сейчас найден путь его получения без тригонометрии, с которым я и хочу вас ознакомить.
Для сокращения объёма публикации я решил представить вывод углового направления вылета тела в виде галереи и анимации. Напомню: галерея - это набор рисунков, которые можно последовательно просматривать, нажимая на соответствующие значки < и >, появляющиеся по краям рисунка при наведениии на него указателя.
Галерея:
Анимация:
