🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь
🤩 Поддержи меня лайком, комментарием или подпиской! 😇
В прошлый раз мы повторяли линейные уравнения - как их решать аналитически и графически. Если вы пропустили это занятие, посмотрите его тут, т.к. сейчас мы во многом будем опираться на тот материал:
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Существует много видов уравнений. Например, мы учились отличать линейные функции (уравнения, неравенства, выражения) на занятии про линейные функции:
Если кратко, то в линейном уравнении х должен присутствовать сам по себе, без квадратов, кубов, корней, дробей с х в знаменателе и т.д.
Но как решать уравнение, если оно не является линейным?
Когда вам дают задание: "решите уравнение", то просто показывают само уравнение. Нет нигде приписки - линейное оно, или квадратное, или дробное. Вы должны уметь самостоятельно отличить вид уравнения, т.к. от вида зависит ход решения.
В очень многих случаях, решая какие-то более сложные уравнения, мы их упрощаем и сводим к линейным. Вот такие случаи мы сегодня и рассмотрим.
Решение уравнений, сводящихся к линейным
Сначала будем анализировать уравнение, то есть определим его вид, и только потом будем решать. Также сделаем проверку и выпишем ответ. Рекомендую и вам так же делать.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 1. Решите уравнение x-2x²=-2(x²+x).
Здесь х не просто сам по себе, над х стоят квадраты. Так что данное уравнение уже точно не является линейным.
Если мы раскроем скобки, то старшая степень у х все равно будет квадрат. Значит, уравнение похоже на квадратное.
Вы скажете: "А мы в 7 классе еще не проходили квадратное уравнение!". Да, не проходили, но это не означает, что вы не сможете его решить.
Что мы сейчас можем сделать с уравнением? Сейчас мы можем раскрыть скобки и посчитать подобные слагаемые. Раскрывать скобки мы тренировались здесь:
Давайте попробуем так сделать и посмотрим что получится:
Задание 2. Решите уравнение x(3x-9)(7-x)=0.
Здесь х вроде как сам по себе, НО! Это нужно проверять, представляя, что вы уже раскрыли скобки! Если бы мы раскрыли скобки, то старшая степень х была бы 3! Так что это уже точно не линейное уравнение. Как определять старшую степень, не раскрывая скобки, учились тут:
Данное уравнение можно назвать кубическим (т.к. старшая степень х третья). Но гораздо проще его рассмотреть как произведение элементов равное 0. Что это означает? В левой части перемножаются: х на (3х-9) на (7-х), а в правой части стоит 0. Вот и получается - произведение равно нулю.
Такое уравнение решается очень легко: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0. Вот мы каждый перемножающийся элемент и приравняем к нулю. Тем самым мы упростим первоначальное уравнение и сведем его к трем простым линейным:
📢📢📢 Обратите внимание! Вы делаете проверку для каждого корня по отдельности! То есть вы должны взять первый корень и подставить его в исходное уравнение везде, где встречается х. Дальше такую же проверку провести для второго и третьего корня. НО нельзя проводить одну проверку сразу для трех корней, например так: в уравнение вместо первого х подставить первый корень 0, в скобку (3х-9) подставить второй корень 3, а в третью скобку (7-х) подставить 7! Да, конкретно в данном примере проверка покажет верное числовое равенство, но, например, в квадратных уравнениях такая неправильная проверка явно покажет ошибку 🧐🧐🧐
Если интересно, есть занятие только по уравнениям вида произведение = 0:
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 3. Решите уравнение (5x-18)/(х+2)=0.
В данном уравнении находится дробь с х в знаменателе, значит, уравнение не является линейным, оно является дробным.
При чем слева стоит одна единая литая дробь, а справа стоит 0. Значит, это самый простой случай дробных уравнений, когда дробь = 0.
Такое уравнение решается очень просто: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Заметьте, когда мы избавились от дроби (разделили на 2 записи: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю), наше исходное уравнение свелось к двум простым линейным уравнению и неравенству.
Напоминаю, что знаменатель не равный нулю дает нам ограничение на х, т.е. ОДЗ. Его не надо писать в ответ (в ответ у уравнения пишем только корни!)
Зачем же находить ОДЗ? Дело в том, что корни, найденные из числителя равного нулю, являются, так сказать, потенциальными. То есть мы должны еще проверить - подходят ли они под ограничение (ОДЗ) от знаменателя. Если подходят - то эти потенциальные корни действительно являются корнями, и их нужно записать в ответ. Но если не подходят - то тогда потенциальные корни НЕ являются корнями в действительности, и в ответ их уже не пишем.
Почему так по-разному может получиться? Дело в том, что потенциальные корни - это не корни самого исходного уравнения (с дробью), это ведь корни только числителя равного нулю. А это уже другое уравнение. Поэтому не забывайте про ограничение именно от наличия дроби в уравнении.
Если интересно, есть занятие, посвященное именно уравнениям вида дробь = 0:
Задание 4. Решите уравнение 5/x-1/2=(x-2)/(3х).
В данном уравнении находятся дроби с х в знаменателе, значит, уравнение не является линейным, оно является дробным.
При чем дроби находятся и слева, и справа, еще и минус между дробями. Значит, это не самый простой случай дробных уравнений, как в задании 3 (дробь = 0), а более сложный случай.
Значит, мы должны свести к виду дробь = 0. Для этого нужно все перенести влево и привести к общему знаменателю. После этого слева получится одна единая дробь, а справа ноль, т.е. дробь = 0. И опять избавляемся от дроби только легальным образом: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.
Если интересно, есть занятие, посвященное именно дробным уравнениям вида дробь = выражению:
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 5. Решите уравнение |x-2|=1.
Здесь х сам по себе, но находится внутри модуля. Значит, данное уравнение точно не является линейным. Это уравнение с модулем.
Значит, надо избавиться от модуля. Что мы знаем про модуль? Модуль делает любое значение неотрицательным. То есть неважно, ставим под модуль со знаком плюс или минус, в итоге все равно будет плюс.
Посмотрим на наш пример: сам модуль равен 1. Значит, то, что находится под модулем, х-2, должно быть или положительным, т.е. 1, или отрицательным, т.е. -1.
Получается, что такое простое уравнение с модулем распадается на два более простых линейных уравнения:
Занятие, посвященное уравнениям с модулем, пока не опубликовано. Планирую опубликовать в 2024-25 уч. году. Найти его можно будет здесь:
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Реши сам - задания для тренировки
Правильные ответы к заданиям смотри в следующем занятии:
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜
✅ Оглавление:
🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь
🧭 Путеводитель по каналу Подслушано по Математике здесь
📢 Телеграм-канал Подслушано по Математике здесь