🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь
🤩 Поддержи меня лайком, комментарием или подпиской! 😇
Три прошлых занятия мы повторяли линейную функцию y=kx+b и ее график. Если вы пропустили эти занятия, посмотрите их тут, т.к. сейчас мы в некоторых моментах будем опираться на тот материал:
Сегодня мы рассмотрим линейные уравнения с двух сторон:
1 - решение как обычно, через математические выкладки (аналитическое решение)
2 - графическое решение, через график линейной функции
На моем канале есть много разобранных линейных уравнений (видео):
Но там нет графической составляющей. Тем не менее, лично я считаю графическую интерпретацию достаточно важной, т.к. иногда именно она помогает разобраться в каких-то примерах, где с помощью формул не решается 🤗
Сначала вспомним основные моменты, которые касаются любых уравнений, не только линейных.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Что такое уравнение?
Для начала разберемся, что такое уравнение, и как его не путать, например, с неравенством или с выражением.
Уравнение - это равенство, содержащее неизвестную переменную.
Чаще всего неизвестная переменная обозначается буквой х. Но может стоять любая буква.
Часто уравнение путают с неравенством или выражением. Посмотрим разницу:
Также иногда уравнения сводятся к числовому равенству: тогда слева и справа должны стоять только числа, без переменных! Например, 0=0; или 4=-1. В первом случае числовое равенство верное (т.к. 0 действительно равен 0), а во втором - неверное (мы же знаем, что на самом деле 4 не равно -1).
Итак, подведем итог: в уравнении есть левая и правая части, а между ними стоит знак равно.
Что значит решить уравнение?
Решить уравнение - значит найти, чему равна неизвестная переменная.
Еще говорят, что решить уравнение - найти все корни уравнения, или доказать, что их нет.
Корень уравнения - это такое значение неизвестной переменной, при подстановке которого в исходное уравнение получается верное числовое равенство.
Именно на этом и построена проверка, которую делают после решения уравнения.
Сегодня рассмотрим разные примеры - где будет один корень, бесконечное число корней и вовсе не будет корней.
Приведем пример:
Почему-то не все школьные учителя требуют, чтобы после решения уравнения ученики писали ответ с корнями или с фразой "корней нет". На мой взгляд, это неправильно. Ученик должен однозначно понимать, что он решает и к какому результату он должен прийти. Поэтому я рекомендую всегда писать ответ. Тренируйтесь на простых примерах! Потом решение уравнений пригодится в других более сложных заданиях, например, в текстовых задачах или при решении неравенств. И тогда уже решение уравнения будет лишь одним из этапов решения. И будет прекрасно, если вы наперед будете понимать, как действовать и что вы получите в том или ином случае, даже не начиная решать!
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Равносильные преобразования уравнений, или что можно делать с уравнением, а что нельзя
В процессе решения уравнения мы производим равносильные преобразования, если, конечно, делаем все правильно. Это такие преобразования, которые помогают выразить х, упрощая при этом уравнение.
Во всех этих преобразованиях принцип один и тот же:
- определили что нам мешает
- определили с каким действием оно входит в уравнение
- применили обратное действие: переписали то что было слева, применили действие, написали равно, переписали то что было справа, применили действие.
При этом должно произойти какое-то взаимное уничтожение! Если его не произошло - то вы что-то делаете не так.
Что можно делать с уравнением:
1) Прибавлять или вычитать одно и то же выражение из обеих частей уравнения. При этом выражение может быть числом или может содержать х:
Обычно в школе весь этот процесс не объясняют. Говорят так: переносим через знак равно - знак меняем на противоположный:
На самом деле это одно и то же. Просто в первом случае я подробно разрисовала, как устроен двигатель автомобиля, а во втором случае мы на этом самом автомобиле просто не задумываясь прокатились 🤗
2) Умножать или делить на одно и то же ЧИСЛО левую и правую части уравнения:
Также бывают операции возведения уравнения в степень и многое другое, но это все гораздо позже, не в 7 классе.
Что нельзя делать с уравнением:
Нельзя умножать уравнение на выражение, которое содержит х. Так вы внесете новые лишние корни в исходное уравнение. А, значит, данное преобразование не является равносильным.
Также нежелательно делить на выражение, которое содержит х. Данный прием используется, как правило, только в некоторых показательных и тригонометрических уравнениях. Там есть один нюанс, про который большинство учеников просто забывает.
Теперь давайте уже перейдем к линейным уравнениям.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Как решать линейные уравнения
Как отличать линейную функцию (выражение, уравнение) мы учились на этом занятии:
Главное - х должен присутствовать в уравнении сам по себе, без квадратов, кубов, корней, не должно быть дробей с х в знаменателе и т.д.
Если вы уверены, что перед вами линейное уравнение, то применяем скороговорку:
Всё с х - влево, всё без х - вправо!
Вообще говоря, не обязательно х собирать именно слева, а числа справа. Тут главное - чтобы все слагаемые с х были в одной части уравнения, а числа в другой.
Затем выражаем х, применяя равносильные преобразования.
Рассмотрим наши сегодняшние задания.
Линейные уравнения из ВПР или программы 7 класса
Уравнения будем решать двумя способами, если это возможно:
1- аналитический способ, то есть с помощью скороговорки "Всё с х влево, всё без х вправо!"
2 - графический способ, то есть с помощью графиков функций.
Аналитический способ мы обсудили только что, чуть выше.
В графическом способе нужно уметь строить графики линейных функций. Построение графиков подробно мы разбирали на этом занятии:
Как решать графическим способом уравнение:
Левую и правую части уравнения обозначаем функциями y1 и у2, строим их графики, ищем точку их пересечения. Координата х этой точки пересечения и будет являться корнем уравнения.
Почему нужна именно точка пересечения? По заданию мы должны решить уравнение. То есть нам надо найти х, при котором левая часть становится равной правой части. Мы их обозначили у1 и у2. Значит, нам надо то место, где у1=у2, то есть где графики совпадают. Поэтому и нужна точка пересечения.
Почему в ответ нам нужна только координата х точки пересечения графиков? По заданию мы должны решить уравнение. То есть мы должны найти х. Ответ от способа решения зависеть не должен. Вот мы и пишем в ответ только х, а не обе координаты точки пересечения.
📢📢📢 Если вы решаете уравнение только графически, обязательно делайте проверку корня после этого! 📢📢📢
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 1. Решите уравнение 5х-1=7+4х
Рассмотрим аналитическое решение и выполним проверку корня:
Рассмотрим графический способ решения:
Как видно, розовый и зеленый графики даже не пересеклись. Но если продлить графики вправо, то тогда они пересекутся. Давайте возьмем для построения графиков другие точки: х=0 и х=10, посмотрим, где будет точка пересечения.
Отлично! Точка пересечения у нас появилась. Но из-за такого мелкого масштаба мы не можем исходя из графиков четко определить х.
Почему в данном задании так получилось? Дело в том, что у функций у1 и у2 угловые коэффициенты очень близки по значению: k1=5, k2=4. Это означает, что углы наклона у графиков тоже будут близки. Значит, и возможность допустить ошибку при определении х по графику будет высока. Поэтому в ситуациях, когда угловые коэффициенты близки или мелкий масштаб при построении, нерационально прибегать к графическому способу решения.
В данном задании графический способ пригодится лишь для оценки адекватности корня, полученного первым, аналитическим способом решения. В первом способе х=8, и по графику примерно так и получается. Но также в первом способе мы сделали проверку, и точно уверены, что х=8 действительно правильно найденный корень и без графического способа решения.
Подобными рассуждениями вы можете определить наперед, стоит ли прибегать к графическому способу или нет.
Задание 2. Решите уравнение 2х-1=-х+5
Рассмотрим аналитическое решение и выполним проверку корня:
Рассмотрим графический способ решения:
В данном уравнении крупный масштаб построения, угловые коэффициенты не близки друг другу (k1=2; k2=-1), точка пересечения лежит на пересечении клеточек фона, так что данный рисунок можно использовать для точного определения корня х графическим способом. Корень х легко находится: х=2, и данный результат совпадает с результатом первого способа.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 3. Решите уравнение 3х-2(3x+4)=10. Линейное уравнение со скобками
Рассмотрим аналитическое решение и выполним проверку корня:
В данном уравнении присутствуют скобки, так что для графического способа уравнение выглядит громоздко, можно сказать, "игра не стоит свеч". Если у вас есть желание - сделайте графический способ самостоятельно.
Задание 4. Решите уравнение х/3-1/12=7x/6. Линейное уравнение с дробями
Давайте убедимся, что уравнение действительно является линейным. х присутствует только сам по себе, нет квадратов, кубов, корней и т.д., но присутствуют дроби. Но в знаменателях дробей нет х, значит, это не дробное уравнение, а действительно линейное.
Значит, можно применять скороговорку "Всё с х влево, всё без х вправо!"
Мы решим данное уравнение двумя способами:
1 - избавимся от знаменателей сразу и потом применим скороговорку
2- сразу применим скороговорку
Графический способ рассматривать при таких дробных коэффициентах нецелесообразно.
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Задание 5. Решите уравнение 2х-1=2х+1. Что делать, если пропадает х из уравнения?
Рассмотрим аналитический способ решения:
Рассмотрим графический способ решения:
Как видно, две прямые не пересекаются. Но, может быть, они пересекутся, если продлить графики влево или вправо? Посмотрим на угловые коэффициенты наших функций. У обеих функций k1=k2=2, значит, и углы наклона прямых тоже должны совпасть, следовательно, такие прямые будут параллельны и никогда не пересекутся. Значит, делаем вывод, что, действительно, точек пересечения нет и не будет ни слева, ни справа, а, значит, корней нет.
Задание 6. Решите уравнение 3(1-х)=-3х+3. Что делать, если пропадает х из уравнения?
Рассмотрим аналитический способ решения:
Графический способ здесь сводится к тому, что мы бы построили две прямые, которые совпадают между собой. Значит, х - любое.
Реши сам - задания для тренировки
❓❓❓ Если возникают вопросы - пишите в комментариях - я всегда отвечаю 🤗🤗🤗
Похожие задания для тренировки, 20 заданий из ВПР 7 класса:
Там же можно будет сверить ответы! 😎😎😎
⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜⚜
✅ Оглавление:
🔹 Подборка Повторяем математику 7 класс здесь
🧭 Путеводитель по каналу Подслушано по Математике здесь
📢 Телеграм-канал Подслушано по Математике здесь