Тема перестановок тесно переплетается с понятием факториала, являясь его естественным продолжением. Прежде чем погрузиться в понятие “перестановки”, давайте вспомним задачи из нашей предыдущей статьи о факториале и проанализируем их решения. Такое возвращение к основам позволит нам лучше понять взаимосвязь между этими важными концепциями комбинаторики.
В комбинаторике, перестановка – это упорядоченный выбор элементов из множества, где порядок элементов имеет значение. Если говорить простым языком, то перестановка – это способ расположения элементов в определенном порядке.
Например, если у нас есть три элемента: A, B и C, то возможные перестановки этих элементов будут:
* ABC
* ACB
* BAC
* BCA
* CAB
* CBA
Количество перестановок из n элементов можно вычислить по следующей формуле:
Где n! обозначает факториал числа n.
Пример:
Количество перестановок из 4 элементов: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Различают следующие перестановки:
1. Перестановки с повторениями.
В этом случае элементы множества могут повторяться. Например, слово "БАНАН" содержит 6 букв, но только 3 различных буквы. Количество перестановок слова "БАНАН" можно вычислить по формуле:
Применяя эту формулу к нашему случаю, получим:
2. Перестановки без повторений:
В этом случае элементы множества не могут повторяться. Например, при выборе президента и вице-президента из 5 кандидатов мы используем перестановки без повторений.
Рассмотрим некоторый набор задач на тему “Перестановки”
1. У вас есть 5 книг, которые вы хотите расставить на полке. Сколько разных вариантов расстановки существует?
Решение:
Для первой книги у нас есть 5 вариантов места. После того, как мы поставили первую книгу, у нас остается 4 варианта для второй книги, и так далее.
Итого, общее количество вариантов расстановки: 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5! = 120
2. Вы хотите придумать пароль, состоящий из 8 символов, где каждый символ – это цифра от 0 до 9. Сколько вариантов пароля вы можете создать, если цифры не могут повторяться?
Решение:
Для первой позиции в пароле у нас есть 10 вариантов (любая цифра от 0 до 9). После выбора первой цифры, для второй позиции остается 9 вариантов, для третьей – 8 вариантов и т.д.
Итого, общее количество вариантов пароля: 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 = 10! / 2! = 1 814 400
В комбинаторных задачах совсем не обязательно приводить вычисления, достаточно остановиться на предыдущем шаге и записать его в ответ: 10! / 2!
3. Сколько разных слов можно составить из букв слова "АБРАКАДАБРА", используя все буквы?
Решение:
Слово "АБРАКАДАБРА" содержит 11 букв, из которых:
* "А" встречается 5 раз
* "Б" встречается 2 раза
* "Р" встречается 2 раза
* "К" встречается 1 раз
* "Д" встречается 1 раз
Используем формулу для перестановок с повторениями: 11! / (5! * 2! * 2! * 1! * 1!) = 83 160
4. 5 человек пришли на вечеринку. Сколько вариантов рассадки за круглым столом существует, если порядок размещения имеет значение?
Решение:
Для первого человека есть 5 вариантов мест. После того, как мы посадили первого человека, для второго человека остается 4 варианта места и т.д.
Казалось бы, 5! = 120 вариантов. Однако, при рассадке за круглым столом, мы должны учесть, что поворот всех людей на одно место не изменяет порядок рассадки.
Поэтому, нужно разделить количество перестановок на количество мест: 5! / 5 = 4! = 24
5. В футбольной команде 11 игроков. Сколько существует способов расположить их на поле (не учитывая позиции)?
Решение:
Используем формулу для перестановок: 11!
6. На шахматной доске 64 клетки. Сколько вариантов расстановки 8 ладей существует, чтобы они не били друг друга? (Ладьи могут бить по горизонтали и вертикали)
Решение:
Первую ладью можно поставить на любую из 64 клеток.
Вторую ладью можно поставить на любую из оставшихся 56 клеток (исключая строку и столбец первой ладьи).
Для третьей ладьи остается 48 клеток и т.д.
Итого, общее количество вариантов расстановки: 64 * 56 * 48 * 40 * 32 * 24 * 16 * 8 = 64! / (56! * 8!)
7. Вы хотите пройтись по 5 улицам города, каждая улица соединена с другой. Сколько различных маршрутов вы можете пройти, не посещая одну улицу дважды?
Решение:
Для первой улицы у нас есть 5 вариантов.
После того, как мы прошли по первой улице, для второй улицы остается 4 варианта, для третьей – 3 варианта и т.д.
Итого, общее количество вариантов маршрута: 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5! = 120
8. Сколько существует различных алгоритмов сортировки 10 элементов в массиве?
Решение:
Для первого элемента массива мы можем выбрать любое из 10 мест. Для второго элемента остается 9 мест, для третьего – 8 мест и т.д.
Итого, общее количество вариантов алгоритма сортировки: 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 10!
9. Вы хотите зашифровать сообщение, используя алгоритм сдвига букв в алфавите. Сколько существует различных ключей шифрования для 26-буквенного алфавита?
Решение:
Для каждого символа в алфавите существует 26 вариантов сдвига.
Итого, общее количество ключей: 26 * 26 * 26 * ... * 26 (26 раз) = 26^26
10. На борту космического корабля 5 астронавтов. Сколько существует вариантов рассадки астронавтов по 5 местам в кабине, если порядок посадки имеет значение?
Решение:
Используем формулу для перестановок: 5! = 120