Число с восклицательным знаком в математике нужно читать с необычной интонацией? А число с вопросительным знаком есть? Коротко обо всех вопросах, с которыми встречается почти каждый учитель математики при знакомстве учеников с темой факториал натурального числа.
А зачем факториал вообще существует? Кто его придумал? И так ли он необходимо?
Впервые понятие факториал ввёл Луи Франсуа Антуан Арбогаст в 1800 году, но более строгое определение (такое, которое есть у нас в настоящее время) появилось только в середине прошлого века.
Факториал встречается при изучении некоторым тем программирования и, конечно, в таких разделах математики как комбинаторика, теория чисел, математический анализ и др.
Для того чтобы понять простое применение факториала, давайте рассмотрим мини-задачи по ситуациям из реальной жизни:
- Сколько есть способов/вариантов рассадить 5 человек за столом (на свадьбах, днях рождениях и тд)? Надеемся, что если у вас появится такой вопрос, вы ни в коем случае не будете выписывать всевозможные варианты, чтобы выбрать лучший. Ведь у вас получится 120 вариантов! 120, КАРЛ!
По-моему, быстрее разобраться с факториалом…
2. Представим ситуацию, что Вам нужно разблокировать телефон (естественно, ваш собственный) шестизначным кодом. Но вот беда: какие цифры - помним, а в каком порядке - нет. В таком случае мы настоятельно советуем придумать, как разблокировать телефон другим способом, потому что перебрать 720 вариантов различных комбинаций этого кода точно нельзя назвать рациональным способом.
Теперь пришло время узнать, что же такое факториал и посмотреть некоторые примеры его решений.
Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.
n!=n·(n-1)·...·3·2·1
То есть факториал дробного числа в математике не существует.
😭! = 😭·😫·😢·😪·🥹·☹️·🙁·😔·🥺·😑·😐·😶
Перейдем к практике (ведь до этого была лирика, а нужно переходить к чему-то конкретному).
Начнем с уровня лайт:
- Какой наименьший факториал делится на а) 3?, б) 6? в) 10? г) 9?
Факториал - это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа, значит, каждое такое число является делителем факториала. Поэтому, чтобы факториал делился на какое-то число, в его произведение должны входить простые множители этого числа.
Разложим на множители числа из задания: а) 3=31,наименьший факториал содержащий эти множители является 3!,
2! не подойдет, так как не содержит множителя 3.
б) 6=3·2·1 и 3·2·1=3!, значит наименьший 3!
в) 10=5·2·1, наибольший простой множитель в разложении 10 - это 5, наименьший факториал, содержащий множитель 5 - это 5!
2. На какую цифру оканчиваются числа: а) 5!; б) 32!; в) 4!; г) 25! Если число оканчивается на 0, то скажите, сколько их на конце?
Заметим, что все факториалы большие 4! на конце имеют 0, так как в множителях таких произведений есть 5 и 2, которые при перемножении дают 0, значит от количества 5 и 2 в факториале будет зависеть количество 0. Задача свелась к подсчету таких множителей:
5! - одна 5 и одна 2
32!, множители, содержащие пять: 5, 10, 15, 25, 30 - 6 пятерок, (заметим, что количество двоек больше количества пятерок, поэтому достаточно подсчитать только пятерки) 6 нулей на конце.
Перед тем, как предложить самостоятельно попытаться решить следующие задачи разберем пример из мема:
7!/(4!·3!)=(7!=7·6·5·4·3·2·1 объединим последние 4 множителя
= 7·6·5·4!) = 7·6·5/3!=7·6·5/(3·2·1)=7·5·1=35.
Оставим уровень hard для вас и обсудим их решение в следующих статьях у нас на канале.
