Представим, что у нас есть инвестиционная возможность. Мы можем, либо удвоить вклад, либо потерять 3/4 денег c вероятностью 50/50. Каждый раз мы вкладываем по 1 руб. и реинвестируем весь накопленный капитал.
Какова наша ожидаемая доходность, если мы воспользуемся этой возможностью 100 раз?
Мы спросили наших читателей в Telegram, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Вот результаты.
Правильный ответ на эту задачку: «<= 0», а именно около - (минус) 29.3% - такой в среднем результат мы получим, если воспользуемся указанной возможностью инвестиций.
Около 28% проголосовавших дали верный ответ. Однако ~72% ошиблись.
Далее мы приведем математическое решение этой задачки. Но даже если вы не дружите с математикой, пожалуйста, не пропустите полезные выводы для ваших инвестиций в конце поста!
Больше таких задачек ищите по ссылкам ниже:
Решение
По условиям задачи, каждый раз из 100 попыток:
- если инвестиции пойдут хорошо, мы удвоим наши деньги (удачный случай),
- если дела пойдут плохо, мы потеряем три четверти вложеной суммы (неудачный случай)…
- и мы каждый раз реинвестируем весь накопленный капитал предыдущих попыток…
- вероятность любого отдельного исхода при этом составляет 50/50.
В общем, вопрос: насколько хороша эта идея?
Простой способ подойти к решению – рассчитать «ожидаемый» результат одной попытки.
Так как каждый из исходов одинаково вероятен, «в среднем» каждый рубль, который мы вкладываем, превращается в (2 руб. + 0,25 руб.)/2 = 1,125 руб.
Это «положительная» ожидаемая доходность в 12,5%.
Такие ставки называются ставками с «положительным ожиданием». В среднем мы ожидаем «заработать», а не «потерять» на них деньги.
Конечно, в любой отдельной попытке мы можем понести убытки. Но поскольку наша ставка имеет положительное математическое ожидание, «со временем» мы ожидаем заработать.
Фактически, по мере того, как мы делаем все больше и больше попыток, наши шансы заработать деньги приближаются к 100%, а наши шансы потерять деньги приближаются к 0%.
Короче - это «хорошие» ставки.
Но в этом сценарии мы не реинвестируем прибыль. Мы «ставим»только 1 руб. на каждом ходу. Мы не взяли результат с первой попытки и не перенесли его на вторую и так далее.
Итак, если мы начнем с 1 руб. и сделаем 100 попыток, «делая ставки» с этой ожидаемой доходностью, перенося наш результат с каждого хода на следующий, мы, скорее всего, получим что-то вроде 1 руб. * (1,125 ^ 100) = ~ 130 тысяч руб., верно?
К сожалению нет.
Если мы используем реинвестирование 100 раз, наши шансы заработать деньги «упадут» до крошечных ~0,04%.
То есть с вероятностью более 99,95% мы в итоге «потеряем» деньги.
Как это возможно?
Что ж, давайте подумаем о том, что происходит с нашим 1 руб., когда он проходит этот процесс «начисления сложных процентов» 100 раз.
При каждой «удаче» наше богатство умножается на 2. Но при каждой «неудаче» оно умножается на 1/4 (0.25), поскольку 3/4 теряется.
Таким образом, каждый неудачный ход отменяет два удачных хода!
То есть, если мы хотим в целом заработать деньги, число удачных попыток должно превосходить количество неудачных как минимум в два раза.
За 100 ходов нам, скорее всего, повезет 50 раз, а остальные 50 раз не повезет.
Но чтобы заработать деньги по итогам 100 попыток, нам нужно, чтобы повезло как минимум 67 раз = 67 / (100-67) =~ 2.
Однако, по условиям задачи за 100 попыток нам повезет всего около (небольшой плюс/минус) 50 раз. Поэтому, мы, скорее всего, потеряем деньги.
Чтобы найти вероятность появления 67 и более удачных попыток из 100 (около 0.04%), нужно воспользоваться формулой Бернулли:
Вероятность P наступления ровно k успехов при проведении серии из n одинаковых и независимых испытаний
с вероятностью успеха р и вероятностью неуспеха q = 1 - р равна:
P(k) = Cnk * n^k * q^(n-k),
где Cnk = n! / (k!*(n-k)!) = число сочетаний из n по k. ! - это факториал, например, 5! = 1*2*3*4*5.
Сумма вероятностей P для для успехов k от 67 до 100 и будет той, что мы ищем.
Но сколько мы потеряем «в среднем»?
На самом деле есть два вида ожиданий.
- Наше обычное представление об ожидании - доходе, который мы ожидаем получить без реинвестирования называется «арифметическим» ожиданием.
- Но есть и «геометрические» ожидания. Это доход, который мы ожидаем получить при использовании сложного процента (реинвестировании).
Вот формула геометрического ожидания (GE):
GE = f1^p1 * f2^p2 * f3 ^p3 * … * fn^pn,
где f - результат исхода, p - вероятность исхода.
В нашем случае:
GE = 2^0.5 * 0.25^0.5 =~ 0.707.
Это также эквивалентно среднему геометрическому.
То есть ожидаемый остаток нашего капитала составит 70.7% от начального, а ожидаемый убыток 100% - 70.7% = 29.3%.
Поэтому правильный ответ «<= 0».
Полезные выводы
1. Инвестиция может иметь положительное арифметическое ожидание, но отрицательное геометрическое ожидание.
Каждая отдельная попытка может нести в себе положительную ожидаемую доходность. Но совокупный эффект многих попыток может привести к убыткам.
В этой ситуации вы можете извлечь выгоду, реинвестируя только определеную часть прибыли (можете изучить Критерий Келли).
2. Всякий раз, когда «ставка» имеет ненулевой шанс полного проигрыша, ее «геометрическое» ожидание равно 0 (вы потеряете всё).
Это ситуация типа русской рулетки. Ее «арифметическое» ожидание может быть положительным, но если мы продолжим испытывать удачу и повторять попытки, мы в конечном итоге застрелимся.
3. Среднее геометрическое крайне важно при оценке результатов инвестиций.
Например, давайте рассмотрим два варианта инвестиций:
- Вариант A генерирует постоянную 5% доходность каждый год,
- Вариант B имеет доходность -10%, 20% и 15% за три года.
Средняя арифметическая доходность для обоих вариантов за три года составит 5%.
Однако, когда мы вычисляем среднее геометрическое, мы обнаруживаем, что Вариант A имеет среднюю годовую доходность 5%, в то время как Вариант B: 6,18%.
Это подчеркивает, как геометрическое среднее отражает эффект начисления сложных процентов и обеспечивает более точную оценку долгосрочной доходности.
Другой пример:
Давайте сравним два инвестиционных портфеля:
- Портфель X имеет постоянную годовую доходность 8%,
- Портфель Y демонстрирует нестабильную доходность с приростом 20% в один год и убытками -10% в другой год.
Среднеарифметическая доходность для обоих портфелей составит 8%.
Однако, когда мы вычисляем среднее геометрическое, мы обнаруживаем, что Портфель X имеет среднюю годовую доходность 8%, в то время как Портфель Y: всего 4,47%.
Этот пример демонстрирует, как среднее геометрическое отражает влияние волатильности (риска) на доходность. Между тем, волатильность очень важно держать под контролем (пост в Telegram).
4. В том нет ничего нового.
Интересно, что Даниил Бернулли понял геометрическое ожидание и Критерий Келли еще в 1738 году. Более того, он примерил все это для решения проблем страхования морских перевозок. Вот его оригинальная статья.
Спасибо, что дочитали до конца!
=======
Читайте также:
и еще десятки полезных публикаций в нашем канале Telegram. Вот тут есть полный гид по каналу.
