В этой статье мы рассмотрим, почему система декартовых координат (x, y, z) — три направления в пространстве, не всегда является хорошим выбором.
Далее я представлю несколько других систем координат, которые могут решать определённые типы задач более эффективно.
Прежде всего, что такое координаты? Координаты — это числовые значения, используемые для представления местоположения или положения точки в пространстве. Обычно они представлены набором из двух или трех чисел в зависимости от размерности пространства. Мы выбираем произвольную точку в качестве начальной точки или «начала координат» и определяем, насколько далеко находится любая точка в пространстве от этого начала. Например, в трехмерном пространстве координаты обычно представлены как (x, y, z), где x обозначает горизонтальное положение точки, y — вертикальное положение точки, а z — глубину точки. Кроме того, направления x, y и z обычно установлены под прямыми углами друг к другу, образуя так называемую трехмерную ортогональную систему координат.
Декартовы координаты, которые используют координаты x и y для представления точек на плоскости, являются очень распространённым и полезным способом описания многих геометрических форм и физических систем. Однако существуют определенные ситуации, когда полярные координаты являются более естественным и удобным выбором.
Декартовы координаты против полярных координат
Декартовы координаты — это система представления точек на плоскости или в трехмерном пространстве с использованием набора числовых значений. Система названа в честь французского математика и философа Рене Декарта (1596–1650), который создал её в XVII веке.
В двумерном пространстве декартовы координаты представлены двумя числами, обозначаемыми как (x, y), которые используются для представления горизонтального и вертикального положения точки в плоскости соответственно. Точка, в которой пересекаются оси x и y, называется началом координат, которое представлено как (0,0).
Любую точку на плоскости можно найти, указав её x-координату и y-координату. Например, точка (3,4) представляет точку, которая находится на 3 единицы вправо от начала координат и на 4 единицы выше его.
В отличие от этого, полярные координаты — это метод описания точек на плоскости или в трехмерном пространстве, где каждая точка представлена углом и расстоянием от фиксированной точки, называемой началом координат.
В двумерном пространстве точка представлена как (r,θ), где r — это расстояние от начала координат до точки, а θ — угол между фиксированным направлением ссылки, часто положительной осью x, и линией, соединяющей начало координат с точкой.
Существует несколько ситуаций, когда использование полярных координат удобнее, чем декартовых координат. Одним из распространённых примеров является описание сценариев с круговой или вращательной симметрией, таких как плоский вращающийся диск, сфера или концентрические круги, подобные тем, которые найдены в кольцах Сатурна.
В любом из вышеуказанных случаев, если бы мы использовали систему декартовых координат, мы могли бы назначить координаты x и y различным точкам. Однако это неэффективно передавало бы симметрию задачи.
Например, если мы рассмотрим две точки на круге и представим их с использованием (r,θ), мы можем легко определить, что они находятся на равном расстоянии от начала координат, потому что радиус постоянен на протяжении всего круга. Эта информация важна для решения некоторых задач.
С другой стороны, если мы представим их как декартовы координаты, например точку (1.1,1.9) на рисунке 1 или любую другую точку на круге, этот важный факт может не быть сразу очевиден на первый взгляд.
Также, когда описывается движение планеты вокруг звезды, полярные координаты можно просто использовать для описания расстояния планеты от звезды и угла, который линия, соединяющая их, образует с фиксированным направлением ссылки.
Если мы сталкиваемся с формой, обладающей цилиндрической симметрией, как на рисунке 2, например, ведро или гантель, мы можем расширить нашу систему координат, введя третье измерение в виде оси z из системы декартовых координат. С этой корректировкой мы можем использовать координаты (r,θ,z) для описания цилиндрически симметричного объекта простым способом. Это называется цилиндрическими полярными координатами.
Если объект обладает цилиндрической симметрией, вращение вокруг оси z в любой точке пространства не повлияет на общую форму объекта.
Существует другой тип симметрии, называемый сферической симметрией, где вращение вокруг любой оси через начало координат приводит к одинаковой форме.
В этом случае цилиндрические координаты могут работать нормально, но, безусловно, это не наилучший выбор. Чтобы учесть это, мы можем ввести другой угол, обозначенный как φ, который измеряется между осью z и линией, соединяющей нашу точку с началом координат. Делая это, мы можем описать сферически симметричные области с использованием сферических полярных координат (r,θ,φ).
В заключение, хотя декартовы координаты являются наиболее часто используемым, мощным и универсальным инструментом для описания многих геометрических форм и физических систем, все же в некоторых случаях эти координаты могут привести к более сложным уравнениям и вычислениям.
Следовательно, полярные координаты могут быть более эффективным и удобным выбором для описания круглых, сферических и цилиндрических систем.
