Продолжение статей https://dzen.ru/a/ZhJAPfGO7FyGiPuB
Графический аспект периодической системы чрезвычайно важен, поскольку первой формой, в которой является периодический закон, есть всем известное его табличное представление. В книге Е.Г. Мазурса [1] (см. также книгу Д.В. ван Спронсена [2]) приведено более 700 различных графических представлений периодической системы Менделеева. Сам Менделеев, как известно, предпочитал трёхмерную спиралевидную конструкцию (наподобие конструкции Шанкортуа). Ниже приведена весовая диаграмма (SO(4,2)-башня) групповой алгебры конформной группы. Подробное построение этой диаграммы дано в статье:
Алгебра Ли конформной группы является алгеброй третьего ранга, что делает возможным графическую визуализацию корневой и весовой диаграмм. Для алгебр Ли ранга 𝑟 > 3 графическая реализация корневых и весовых диаграмм становится практически невозможной. Альтернативным методом построения таких диаграмм для алгебр Ли любого ранга является метод диаграмм Дынкина [3].
Графическое изображение весовой диаграммы, показанное на Рис. 1, напоминает четырёхгранную пирамиду, перевернутую вверх ногами и отражённую от плоскости (L_3, A_3). Эту конструкцию будем называть SO(4, 2)-башней. Каждый заданный этаж SO(4, 2)-башни характеризуется главным квантовым числом 𝑛. Горизонтальные полосы (этажи) соответствуют различным 𝑙- подоболочкам, а точки являются индивидуальными 𝑚-компонентами (конечномерными представлениями группы SO(4, 2)). Координатные оси образованы тремя генераторами Картана, составляющими подалгебру Картана групповой алгебры конформной группы. В водородной реализации конформной группы (см. [4]) эти генераторы соответствуют третьим компонентам орбитального момента, вектора Лапласа-Рунге-Ленца и радиальной части.
Проекциями SO(4, 2)-башни на координатные плоскости являются весовые диаграммы подалгебр групповой алгебры конформной группы. Так, на Рис. 3 изображена весовая диаграмма алгебры Ли группы SO(4), которая является одной из проекций SO(4, 2)-башни.
Следует отметить, что с группой SO(4)связано первое применение теории групп в квантовой механике. В статье 1926 г. [5] Паули использовал матричную механику Гейзенберга для получения спектра атома водорода. Помимо углового момента L, Паули также ввёл квантовомеханический аналог A классического вектора Лапласа–Рунге–Ленца. Инвариантность гамильтониана относительно этих операторов (L и A) оказалась достаточной для объяснения полного вырождения спектра водорода. Кроме того, соответствующая алгебра может быть идентифицирована как алгебра Ли группы вращений в четырёх измерениях, изоморфная специальной ортогональной группе SO(4), что впоследствии было строго установлено В. Фоком [6] (и далее В. Баргманом [7]).
Теперь переходим к главному. Связующим звеном между приведёнными выше теоретико-групповыми конструкциями и периодической системой химических элементов является "левосторонняя " таблица Жане (C. Janet), изображенная на Рис. 4.
Юрий Иванович Кулаков называет эту таблицу "зиккуратом" [8] (зиккурат - культовое сооружение в древней Месопотамии, представляющее собой башню из поставленных друг на друга параллелепипедов или усечённых пирамид).
Ту же таблицу Жане мы видим в пионерской работе Ю.Б. Румера и А.И. Фета [9], посвященной теоретико-групповому описанию периодической системы (см. [10,11]). Только теперь эта таблица повернута на 90 градусов и сопровождена обозначениями соответствующих квантовых чисел конформной группы (см. Рис.5).
Румер, Фет и Кулаков нигде не упоминают о таблице Жане, по всей видимости, она им была неизвестна, а к этой форме периодической таблицы Менделеева они пришли независимо в результате исследования групповых свойств периодической системы. У Кулакова в его "Теории физических структур" есть обширное приложение, посвященное этой форме периодической таблицы.
Здесь следует сказать несколько слов о Шарле Жане, которого Р.Д. Стюарт называет "непризнанным гением периодической системы" [12],
Шарль Жане, французский инженер и геолог, в возрасте 77 лет написал шесть статей, посвященных химии и периодической таблице. В этих статьях Жане открыл правило n+l за шесть лет до Маделунга, предвосхитил расширение периодической таблицы посредством группы актиноидов за 16 лет до Сиборга. Главным вкладом Жане является его левосторонняя периодическая таблица (LSPT), представляющая таблицу Менделеева как совокупность четырёх вложенных в друг друга цилиндра. На поверхности каждого цилиндра элементы располагаются по винтовой линии (здесь сразу же вспоминается "теллуров винт" Шанкортуа 1852 года). Далее, проецируя цилиндры на плоскость, Жане получает спираль (тут следует отметить, что спираль Жане не была первой из широкого множества спиральных моделей периодической системы; спиральным моделям будет посвящена отдельная статья). Развертка этой спирали приводит к левосторонней таблице Жане.
В той же форме (таблицы Жане) может быть представлено 8-периодическое расширение периодической системы (таблица Сиборга), см. Рис. 6 [13].
А также 10-периодическое расширение (Рис. 7, [14]).
На Рис. 6 и 7 пунктирными рамками M и S обозначены таблицы Менделеева и Сиборга. Квантовые числа конформной группы даны во 2-ом базисе Фета (более подробно см. [13]).
Здесь мы видим бесконечную последовательность представлений конформной группы (барутон Вульфмана-Тиссена). Это уходящая в бесконечность верхняя часть (четырёхгранная пирамида) SO(4,2)-башни на Рис.1.
Далее, таблица Жанэ на Рис. 4 и 5 также может быть представлена в пирамидальной форме (см. Рис. 8).
Очевидно, что та же форма может быть получена и для таблиц на Рис. 5 и 6.
На самом деле пирамидальная форма периодической системы имеет давнюю историю. Так, в 1882 году Томас Бэйли (T. Bayley) представил первую пирамидальную модель (см. Рис. 9).
Система Бэйли дает ясное различие между главными группами и подгруппами и оставляет пустующие места для редкоземельных металлов. Соединительные линии указывают на то, что свойства, аналогичные свойствам элементов первых двух периодов, можно найти в элементах как основной, так и вспомогательных групп.
Далее, в 1895 году Ханс Петер Йорген Томсен (H. Thomsen), профессор химии Копенгагенского университета, ввёл следующую пирамидальную модель периодической системы (Рис. 10):
Ван Спронсен [2] называет модель Томсена практически идеальной на момент 1895 г. Легко видеть, что эта модель очень схожа с моделью Бэйли, из которой Томсен устранил большую часть недостатков.
В 1922 году Нильс Бор представил свою пирамидальную модель периодической таблицы (см. Рис. 11), которая может быть охарактеризована как завершающая стадия серии систем Бэйли и Томсена.
Пирамида Бора есть просто современная форма (на момент 1922 г.) системы Томсена: все элементы имеют свои места, и есть свободные места только для неоткрытых элементов. Бор оставил четырнадцать мест вакантными для второй группы редкоземельных металлов, не начав с тория.
В завершении обзора пирамидальных моделей периодической системы приведём ещё одну модель, в которой элементы, поднимаясь по поверхности четырёхгранной пирамиды, образуют магическую спираль (Рис. 12).
Авторство этой модели приписывается Ари Фрэйландту (A. Vrijlandt) Яном Шольтеном (J. Scholten) в книге J. Scholten, Secret Lanthanides, 2005.
Легко видеть, что двумерная модель Фрэйландта-Шольтена проецируется на трёхмерную весовую диаграмму (верхняя пирамида SO(4,2)-башни) алгебры Ли конформной группы (Рис. 1), при этом магическая спираль преобразуется в винтовую линию, на которой расположены m-компоненты - элементы периодической системы (конечномерные представления конформной группы).
Спиральные модели периодической системы элементов появились раньше пирамидальных, их количество и разнообразие форм намного превышают последние.
Следующая статья будет посвящена спиральным моделям.
Продолжение следует ...
Литература
1. Mazurs E.G. Graphic Representations of the Periodic System During One Hundred Years.Tuscaloosa: University of Alabama Press, 1974.
2. van Spronsen J.W. The Periodic System of Chemical Elements. Amsterdam; New York:Elsevier, 1969.
3. Дынкин Е.Б. Классификация простых групп Ли // Матем. сб. 1946. Т. 60. C. 347—352.
4. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов IV.: Групповая алгебра // Математические структуры и моделирование. 2024. № 1(69). C. 18–31. https://www.researchgate.net/publication/379873632_TEORETIKO-GRUPPOVOE_OPISANIE_PERIODICESKOJ_SISTEMY_ELEMENTOV_IV_GRUPPOVAA_ALGEBRA
5. Pauli W. ̈Uber das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik // Z.Phys. 1926. Vol. 36. P. 336–363.
6. Fock V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms // Z. Phys. 1935. Vol. 98.3. P. 145–154.
7. Bargmann V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms // Z. Phys. 1936. Vol. 99.7. P. 576–582.
8. Кулаков Ю.И. Теория физических структур. https://tphs.narod.ru/articles/book/index.htm
9. Румер Ю.Б., Фет А.И. Группа Spin(4) и таблица Менделеева // ТМФ. 1971. Т. 9. C. 203–209.
10. Фет А.И. Группа симметрии химических элементов. Новосибирск: Наука, 2010.
11. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов // Ма-тематические структуры и моделирование. 2018. No 2 (46). C. 5–23.
12. Stewart P.J. Charles Janet: Unrecognized Genius of the Periodic System // Foundations of Chemistry (2009), P. 1-11.
13. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов.II: Таблица Сиборга // Математические структуры и моделирование. 2019. No 1 (49). C. 5–21.
14. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов.III: 10-периодическое расширение // Математические структуры и моделирование. 2019.No 3 (51). C. 5–20