Итак, продолжим знакомство с картезианской механической моделью оптических явлений, происходящих на границе раздела двух сред. Перейдем от явления отражения света, рассмотренного в предыдущей публикации (Несколько вопросов Рене Декарту…), к преломлению. Анализируя прохождение света сквозь прозрачную преграду, Декарт использует практически ту же механическую аналогию, что и для отражения: «… мяч, выброшенный из А по направлению к В, встречает в точке В не поверхность земли, а кусок материи СВЕ, которая настолько слаба и редка, что он может прорвать ее и пройти насквозь, теряя только часть своей скорости, например половину». Он опять раскладывает скорость мяча на две составляющие - вертикальную и горизонтальную по отношению к границе раздела сред. И утверждает, что: «… лишь та из них, которая вынуждает мяч спуститься сверху вниз, может быть сколько-нибудь изменена при встрече с материей; что касается составляющей, которая направляет его к правой руке, то она должна остаться такой же, какой была, ибо кусок материи СВЕ нисколько не оказывает сопротивления в этом направлении.
… [поэтому] за удвоенное время [по сравнению с тем, которое ему потребовалось, чтобы переместиться от линии АС до линии НВ] он должен проделать в эту сторону путь в два раза больший и, следовательно, достичь некоторой точки прямой FE в то же самое мгновение, когда он приближается к какой-либо точке окружности AFD; это возможно только при условии, если мяч направляется к точке I, ибо она является единственной над [под?] куском полотна СВЕ, где окружность AFD и прямая линия FE пересекаются».
Выстраивая такую цепочку рассуждений, Декарт приходит к выводу совершенно не соответствующему тому, что происходит в действительности. Дело в том, что луч света, попадающий в воду, отклоняется в сторону вертикали, тогда как мяч, согласно рассуждениям Декарта, наоборот, отклоняется от нее в сторону границы раздела сред. Другими словами, все выглядит так, как будто механическая аналогия, хорошо зарекомендовавшая себя в случае описания отражения света, перестает работать при рассмотрении его преломления.
Рассмотрим процесс преломления лучей света немного подробнее, в целом следуя путем Декарта, но дополнив его модель базовыми представлениями концепции гармонической переменности массы всех, не исключая частицы света, материальных объектов (Масса Часть2. Переменная величина или Двуликий Янус).
Пусть фотоны падают по одному на прозрачное препятствие (например, стеклянную пластину) под углом α. И какой-то из них достигает границы раздела воздух/стекло как раз в тот момент времени, когда его масса принимает свое минимальное значение, меньшее нуля (μ = -M). В результате упругого столкновения фотона, обладающего в момент контакта отрицательным значением массы, и потому пребывающего в «приступе легкого прохождения» (как называл такое состояние Ньютон), эта частица проникает во вторую из сред. Прошедший фотон продолжает движение в ней под некоторым углом, который мы обозначим буквой β. Найдем, каким образом связаны между собой углы β и α, предварительно пояснив, почему фотон в тот момент, когда его масса отрицательна, «беспрепятственно» проникает через границу раздела, легко оказываясь во второй среде.
Проникновение фотона во вторую среду обеспечивает 2-ой закон Ньютона, точнее, то обстоятельство, что объект, обладающий отрицательной массой, движется в направлении противоположном направлению действующей на него силы F. То есть, если фотон приходит в некоторую точку поверхности раздела в тот момент времени, когда его масса отрицательна, то после удара об эту поверхность он движется в направлении противоположном перемещению частицы, масса которой положительна. Можно даже сказать, что такая частица тоже «отражается», но только не обратно в первую из сред, а во вторую.
Следуя Декарту, разложим вектор скорости падающего фотона v1 на две составляющие: параллельную границе раздела сред (v1t) и перпендикулярную к ней (v1n). Аналогично поступим и с вектором скорости прошедшего во вторую среду фотона v2. Составляющие этого вектора обозначим v2t и v2n, соответственно. Это тот случай, когда при переходе через границу раздела скорость частицы света не изменяется по величине (v2 = v1), и эта частица продолжает перемещаться в том же направлении, что и до перехода. Тогда составляющие указанных скоростей попарно равны между собой:
Декарт же был абсолютно уверен в том, что при встрече мяча с поверхностью ветхой ткани (или воды) «может быть сколько-нибудь изменена» лишь перпендикулярная составляющая его скорости. Мяч «может прорвать ее и пройти насквозь, теряя только часть своей скорости, например половину», то есть, по его мнению, составляющие скоростей мяча связаны между собой следующим образом (в рассматриваемом Декартом примере показатель преломления второй среды n = 2):
Таким образом, если следовать Декарту, то получается, что мяч, моделирующий частицу света, прорывает ткань в направлении вектора скорости v'2, отклоняясь в сторону горизонтали, тогда как в действительности луч света в ходе преломления отклоняется в сторону вертикали.
Выясним, используя закон сохранения импульса системы «частица + препятствие», каким будет изменение нормальной составляющей скорости и, связанное с ним соотношение углов падения и преломления (M и v – масса и скорость фотона; m и V - масса и скорость препятствия; штрихами помечены значения этих величин после соударения):
С учетом того, что масса фотона несравнимо меньше массы препятствия, которое поэтому остается неподвижным и после удара, и того, что удар абсолютно упругий (массы объектов после столкновения не изменяются):
закон сохранения импульса в наших обозначениях примет вид:
Запишем его для нормальных составляющих скоростей до и после удара, поскольку, согласно Декарту, в ходе преломления изменяются только они:
В итоге закон сохранения импульса сводится к следующему равенству скоростей:
То есть, согласно Декарту, показатель преломления n равен отношению косинуса угла преломления β к косинусу угла падения α, тогда как на самом деле показатель преломления равен отношению синуса угла падения α к синусу угла преломления β!
Таким образом, рассмотрение Декартом прохождения света приводит к проблемам. И преломленный луч у него отклоняется к горизонтали, а не к вертикали, и показатель преломления равен отношению не синусов углов падения и преломления (являющемуся постоянной величиной для данной однородной среды), а косинусов углов преломления и падения (которое оказывается переменной величиной).
Все это кажется окончательным приговором корпускулярной теории света, проявляющей, таким образом, свою недееспособность при рассмотрении прохождения света сквозь поверхность раздела двух сред. Однако не будем торопиться с выводами. Уверенность Декарта в том, что при ударе проходящего во вторую среду фотона о поверхность раздела сред, изменяется лишь нормальная составляющая его скорости, недостаточно обоснована и вовсе не очевидна. Тем более, что в действительности образованный проходящими фотонами луч света изменяет, как направление своего распространения, отклоняясь в сторону вертикали до угла β, так и модуль скорости перемещения, который уменьшается в оптически более плотной среде.
Поэтому более логичным и соответствующим действительности будет признание факта согласованного изменения сразу обеих составляющих скорости v1 после контакта фотона с поверхностью раздела. Такого изменения, что эта скорость становится равной скорости v2. Найдем, как связаны друг с другом составляющие скоростей фотона до и после контакта с препятствием, если показатель преломления представляет собой отношение скоростей v1 / v2, равное отношению синусов углов α и β.
Запишем выражения для катетов двух прямоугольных треугольников, прилегающих к вертикали, перпендикулярной к границе раздела, и представляющих собой тангенциальные и нормальные составляющие векторов скорости v1 и v2:
Отношение тангенциальных составляющих скоростей при заданном значении угла падения α равно:
Откуда следует, что тангенциальная составляющая скорости фотона после прохождения им сквозь поверхность препятствия прямо пропорциональна тангенциальной составляющей этой скорости до прохождения. Коэффициент пропорциональности равен обратному квадрату показателя преломления второй из сред:
Аналогичным образом находим, что нормальная составляющая скорости фотона после соударения прямо пропорциональна произведению тангенциальной составляющей начальной скорости на отношение косинусов углов β и α. Коэффициент пропорциональности равен обратному значению показателя преломления:
Несложные, но громоздкие преобразования, опирающиеся на теорему Пифагора, приводят к наблюдаемому в действительности соотношению и самих скоростей:
Из чего можно сделать вывод о корректности найденных выражений, связывающих друг с другом составляющие скоростей фотона до и после прохождения им поверхности препятствия. И самое главное, что это делает предъявляемые корпускулярной теории света обвинения в ее неспособности правильно интерпретировать явление преломления беспочвенными. В своей работоспособности корпускулярная теория света, по меньшей мере, ничуть не уступает работоспособности его волновой теории.
И в завершение, еще пара замечаний. Сравнение составляющих вектора скорости частицы света до и после прохождения ею поверхности раздела подтвердило предположение о том, что характер их изменения при изменении угла падения различен.
Тангенциальная составляющая скорости после прохождения границы раздела v2t при любом значении угла α всегда в n^2 раз меньше тангенциальной составляющей скорости, с которой частица падает на поверхность препятствия v1t. Иначе говоря, отношение этих составляющих есть величина постоянная, и она равна квадрату показателя преломления. А вот отношение нормальных составляющих скорости является переменной величиной в силу ее прямой зависимости от косинуса угла α. Кроме того, в ходе этой зависимости есть один довольно любопытный нюанс.
До определенного значения угла падения (соответствующего точке A на графике) составляющая скорости v2n остается в (n·cos a / cos b) раз меньше составляющей v1n. В точке A эти составляющие становятся равными друг другу (v2n = v1n), и затем при дальнейшем росте угла α они «меняются ролями»: составляющая скорости v2n становится и продолжает оставаться
в (n·cos a / cos b) раз больше составляющей v1n. Впрочем, замеченный нюанс никак не сказывается на постоянстве отношения самих скоростей v1 и v2, величина которого остается равной показателю преломления при всех значениях угла падения из диапазона от 0° до 90°.
Второе замечание касается исключительно геометрического происхождения найденных выражений, почти не использующего каких-либо физических соображений. В подобном изъяне всегда упрекали Гюйгенса, у которого сформулированный им принцип построения волнового фронта, действительно, насквозь геометричен и практически не содержит никакой физики. Кстати, в статье одного убежденного противника волновой теории света, не так давно опубликованной в Дзэне, меня очень повеселило сравнение автора этой статьи волнового фронта со шпалой (жестким стержнем), переносимой двумя людьми. Приведенная им цитата из довольно популярного учебника, действительно, забавна: «Каждый волновой фронт можно рассматривать как твердый стержень, удерживаемый двумя людьми за оба конца. Волны в воздухе можно представить в виде этих двух людей, идущих по сухой почве, все время, держась за концы стержня; волны в воде можно представить в виде тех же людей, идущих по жидкой грязи. Когда А и В приближаются к грязи, В вступает на нее раньше и замедляет свой шаг. За тот промежуток времени, в течение которого скорости А и В различны, стержень меняет направление». (Л.Эллиот и У.Уилкокс, «Физика», М., «Наука», 1975г., стр. 560.) Хотя, перефразируя известную пословицу, можно сказать, что подобная «наглядность», имеющая весьма отдаленное отношение к физике, и в самом деле, хуже воровства.
Так вот, возвращаясь к своей статье, замечу, что приводимые в ней выражения для скорости частицы света и ее составляющих до и после прохождения границы раздела могут быть получены и в результате более строгого, в смысле физического обоснования, вывода. Этот простой, но весьма утомительный вывод опирается на совместное использование 2-го закона Ньютона в его импульсном виде и теорему об изменении кинетической энергии тела за счет совершения над ним какой-либо работы, например, по его торможению:
Оставляю выше упомянутый вывод за скобками данной статьи, по причине его необязательности и громоздкости, совершенно не вписывающейся в формат публикаций Дзэна.
Ну что еще можно добавить к вышеизложенному? Вероятно то, что в рукаве сторонников волновой теории света есть, конечно, еще такой туз, как огибание препятствий светом или явление дифракции, объяснение которого, по их мнению, уж точно не по зубам корпускулярной теории света, но это мы еще посмотрим, что и кому по плечу, а кому нет.
