Квадратичная функция и ее свойства.

Квадратичная функция -это функция вида f(x) = аx^2 + bх + с, где а, b, с - константы, причём а не равно 0. Эта функция имеет ряд характерных свойств и особенностей, которые важно понимать для решения задач и анализа графиков. Давайте рассмотрим основные свойства квадратичной функции на примерах. 

1. Форма графика.

График квадратичной функции представляет собой параболу. В зависимости от знака коэффициента а: 

- Если а > 0, парабола имеет ветви, направленные вверх. 

- Если а < 0, парабола имеет ветви, направленные вниз. 

Пример:

f(х) = x^2 — парабола с ветвями вверх. 

f(x) = -x^2 - парабола с ветвями вниз. 

2. Вершина параболы.

Вершина параболы - это точка, в которой достигается максимальное или минималь значение функции. Координаты вершины можно найти по формулам:

x = -b/(2a)

y = f(-b/(2a))

Пример:

Для функции f(х) = x^2 - 4x + 3, найдём вершину: 

x = - (-4)/(2*1) = 2

у = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3= -1 Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -1). 

3. Ось симметрии.

Парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину. Эта линия называется осью симметрии параболы и её уравнение: 

x = -b/(2а)

Пример:

Для функции f(х) = x^2 - 4х + 3, ось симметрии — это линия х = 2.

4. Нули функции (корни квадратного уравнения).

Нули функции - это значения х, при которых f(x) = 0. Найти их можно, решив квадратное уравнение аx^2 + bx + с = 0 через дискриминант: D = b^2 - 4ac

Если D > 0, уравнение имеет два различных корня.

 Если D = 0, уравнение имеет один корень (вершина параболы). 

Если D < 0, действительных корней нет. 

Пример:

Для функции f(х) = x^2 - 4x + 3: 

D = (-4)^2 - 4*1*3= 16 - 12 = 4

Корни: x1 = (4 + 2)/(2*1) = 3,

x2 = (4 - 2)/(2*1) = 1

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает на интервале от вершины до бесконечности, если а > 0. 

Функция убывает от минус бесконечности до вершины, если а > 0. 

Обратное верно, если а < 0. 

Пример: 

Для f(c) = x^2 - 4х + 3 (где а > 0)

Убывает на ( -oo, 2]

Возрастает на [2, oо) 

Эти своиства помогают анализировать и строить графики квадратичных функций, а также решать различные практические задачи.