Квадратичная функция -это функция вида f(x) = аx^2 + bх + с, где а, b, с - константы, причём а не равно 0. Эта функция имеет ряд характерных свойств и особенностей, которые важно понимать для решения задач и анализа графиков. Давайте рассмотрим основные свойства квадратичной функции на примерах.
1. Форма графика.
График квадратичной функции представляет собой параболу. В зависимости от знака коэффициента а:
- Если а > 0, парабола имеет ветви, направленные вверх.
- Если а < 0, парабола имеет ветви, направленные вниз.
Пример:
f(х) = x^2 — парабола с ветвями вверх.
f(x) = -x^2 - парабола с ветвями вниз.
2. Вершина параболы.
Вершина параболы - это точка, в которой достигается максимальное или минималь значение функции. Координаты вершины можно найти по формулам:
x = -b/(2a)
y = f(-b/(2a))
Пример:
Для функции f(х) = x^2 - 4x + 3, найдём вершину:
x = - (-4)/(2*1) = 2
у = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3= -1 Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -1).
3. Ось симметрии.
Парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину. Эта линия называется осью симметрии параболы и её уравнение:
x = -b/(2а)
Пример:
Для функции f(х) = x^2 - 4х + 3, ось симметрии — это линия х = 2.
4. Нули функции (корни квадратного уравнения).
Нули функции - это значения х, при которых f(x) = 0. Найти их можно, решив квадратное уравнение аx^2 + bx + с = 0 через дискриминант: D = b^2 - 4ac
Если D > 0, уравнение имеет два различных корня.
Если D = 0, уравнение имеет один корень (вершина параболы).
Если D < 0, действительных корней нет.
Пример:
Для функции f(х) = x^2 - 4x + 3:
D = (-4)^2 - 4*1*3= 16 - 12 = 4
Корни: x1 = (4 + 2)/(2*1) = 3,
x2 = (4 - 2)/(2*1) = 1
5. Интервалы возрастания и убывания.
Функция возрастает на интервале от вершины до бесконечности, если а > 0.
Функция убывает от минус бесконечности до вершины, если а > 0.
Обратное верно, если а < 0.
Пример:
Для f(c) = x^2 - 4х + 3 (где а > 0)
Убывает на ( -oo, 2]
Возрастает на [2, oо)
Эти своиства помогают анализировать и строить графики квадратичных функций, а также решать различные практические задачи.
