Для решения квадратных неравенств вида аx^2 + bx +с > 0, аx^2 + bx + с < 0, аx^2 + bx + c > = 0, или аx^2 + bx + с < = 0, где а, b, с - константы, а не равно 0, можно следовать следующему пошаговому методу.
Рассмотрим это на примере неравенства x^2 - 5x + 6 > 0.
Найдите корни квадратного уравнения.
Сначала решите соответствующее квадратное уравнение х^2 - 5х + 6 = 0. Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения:
x1 = (-b + √D)/(2a)
x2 = (-b - √D)/(2a)
где а = 1, b = -5, с = 6, D = b^2 - 4ac
Подставляем значения:
x1 = (-(-5) + √((-5) ^2 - 4*1*6))/(2*1) = 3
x2 = (-(-5) - √((-5) ^2 - 4*1*6))/(2*1) = 2
Таким образом, получаем два корня:
x1 = 3
x2 = 2
Определите знаки на интервалах.
Корни уравнения разбивают числовую ось на интервалы. В данном случае интервалы будут: (- oo; 2), (2; 3) и (3, + оо). Нужно определить знак выражения x^2 - 5х + 6 на каждом из этих интервалов.
Выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим в исходное выражение:
- Для интервала (-oo; 2) возьмем х = 0:
0^2 - 5*0 + 6 = 6
(положительно)
- Для интервала (2, 3) возьмем х = 2,5:
2,5^2 - 5*2,5 + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25
(отрицательно)
- Для интервала (3, +оо) возьмем х = 4:
4^2 - 5*4 + 6 =16 - 20 + 6 = 2
(положительно)
Запишите решение неравенства.
Так как мы решаем неравенство x^2 - 5х + 6 > 0, нам нужны интервалы, где выражение принимает положительные значения. Исходя из наших вычислений, это интервалы (- oо, 2) и (3, + оо).
Таким образом, решением неравенства x^2 - 5х + 6 > 0 будет:
(- oo; 2) и (3, +oо)
Это метод решения квадратных неравенств, который можно применять для любых подобныз задач.
