Что такое квадратичная функция? Как построить ее график?

Квадратичная функция - это функция вида f(х) = ах^2 + bx + с, где а, b, c - константы, причем а не равна 0. Графиком квадратичной функции является парабола. 

Понимание коэффициентов.

а - этот коэффициент определяет направление ветвей параболы (вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0) и их “ширину” или "степень открытости". 

b - влияет на положение вершины параболы по горизонтали. 

с - это значение функции при х = 0 т. е. точка пересечения графика с осью Оу. 

Нахождение вершины параболы.

Вершина параболы - это точка, где достигается максимальное или минимальное значение функции. Координаты вершины можно найти по формулам: 

x = -b/(2a)

y = f(-b/(2a)) = a(-b/(2a)) ^2 + b(-b/(2a)) + c

Ось симметрии.

Ось симметрии параболы - это вертикальн линия, проходящая через вершину. Ее уравнение 

x = - b/(2a)

Точки пересечения с осями.

Пересечение с осью Оу: подставьте х = 0 в уравнение параболы.

Пересечение с осью Ох: корни уравнения.

Решите уравнение ах^2 + bх + с = 0 через дискриминант: D = b^2 — 4ас 

Если D > 0, корни х1 = (-b + √D)/(2a)

и x2 = (-b - √D)/(2a)

Если D = 0, один корень х = -b/(2a)

Если D < 0, корней нет (парабола не пересекает ось Oх) 

Построение графика:

1. Найдите с, точку пересечения с осью Oу. 

2. Найдите вершину параболы. 

3. Найдите ось симметрии. 

4. Найдите точки пересечения с осью Oх (если они есть). 

5. Выберите несколько значений х слева и справа от вершины и вычислите соответствующие значения у, чтобы получить дополнительные точки для построения графика. 

6. Нарисуйте параболу, соединяя точки плавной кривой. 

Пример.

Рассмотрим функцию f(х) = x^2 — 4х + 3.

1. а=1, b = —4, с=3 

2. Вершина: х = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2, 

у = 1*2^2 - 4*2 + 3 = - 1 (точка (2, -1)) 

3. Ось симметрии: х = 2 

4. Пересечение с осью Oу: у = -1

5. Пересечение с осью Oх: 

x1 = 1, x2 = 3

Дополнительные точки: х = 0, 2, 4; 

у = 3, -1, 3 соответственно.

7. Построение графика с этими точками и вершиной. 

Таким образом, вы можете построить график любой квадратичной функции, следуя этим шагам.