Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Преобразование двойных радикалов
Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:
Решение:
Выражения такого вида называют двойным радикалом.
В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений, формулы которых школьники проходили в седьмом классе.
Представим выражение 6 + 2√5 в виде квадрата суммы двух выражений. Для этого 2√5 будем рассматривать как удвоенное произведение двух выражений, а 6 как сумму их квадратов. Выражение 2√5 можно представить как 2 * 1 * √5. Мы видим, что действительно сумма квадратов множителей 1 и √5 равна 6. Значит,
Представим выражение 11 – 4√7 в виде квадрата разности двух выражений. Для этого 4√7 будем рассматривать как удвоенное произведение двух выражений, а 11 как сумму их квадратов. Выражение 4√7 можно представить как 2 * 2 * √7. Мы видим, что действительно сумма квадратов множителей 2 и √7 равна 11. Значит,
Обратите внимание: в последнем примере мы поставили на первое место √7, а не 2. Если уменьшаемым будет число 2, а вычитаемым √7, то разность получиться отрицательная и противоположна разности √7 и 2. Но квадраты противоположных чисел равны. И модули противоположных чисел тоже равны, поэтому конечный результат всё равно был бы √7 – 2. Но я предпочёл в качестве уменьшаемого поставить большее число, так как в этом случае решение получается чуть короче, потому что нам не было необходимости писать после возведения внешнего квадратного корня в квадрат = | 2 – √7 | = √7 – 2, а мы сразу написали = √7 – 2.