Полный перечень всех статей, опубликованных на канале, найдете здесь. Ссылки на две предыдущие статьи из цикла «Построение правильных многоугольников» располагаются в этом перечне в разделе «Геометрия. Общие вопросы».
Прежде всего напомню, что правильный пятиугольник имеет название пентагон. Но, по-видимому, из-за того, что это слово стало использоваться для обозначения штаб-квартиры Министерства обороны США, в геометрии слово пентагон употребляется всё реже. Я люблю греков, поэтому часто использую слово πεντάγωνον, которое в русском языке потеряло пару звуков и из пентагонон превратилось в пентагон.
В предыдущих двух статьях мы легко построили равносторонний треугольник и квадрат с помощью циркуля и линейки (двух инструментов, доступных людям с самых древних времен), потому что можем построить этими инструментами углы в 60 и 90 градусов.
Логично предположить, что для построения пентагона надо научиться строить угол в 72 градуса, поскольку, если мы разобьем любую окружность на пять равных частей центральными углами по 72 градуса (360° / 5 = 72°) и соединим концы этих дуг между собой, то получим правильный пятиугольник.
Но построить угол в 72 градуса с помощью упомянутых инструментов — сложная задача, сложнее, чем начертить на заданной окружности хорду, длина которой будет равна стороне правильного пятиугольника. Давайте рассмотрим этот вариант.
Предположим, что мы построили пентагон, вписанный в заданную окружность. Проведем две диагонали этой фигуры из произвольной вершины. Проанализируем полученный зеленый треугольник.
Синий центральный угол равен 144 градуса, так как он состоит из двух углов по 72 градуса. Зеленые отрезки равны, потому что это радиусы заданной окружности. Следовательно серый треугольник равнобедренный, а красные углы при его основании имеют размер 18 градусов. Ведь сумма всех углов треугольника 180 градусов (180°-144°=36°; 36°/2=18°). Такие рассуждения применимы и к другой аналогичной части зеленого треугольника.
В результате можно сделать вывод, что зеленый треугольник равнобедренный. Угол при вершине противоположной основанию у него равен 36 градусам (18°+18°=36°), а углы при основании имеют размер по 72 градуса (180°-36°=144°; 144°/2=72°).
В статье о «золотом сечении» я рассматривал такой равнобедренный треугольник. У этого треугольника стороны a и b соотносятся друг с другом в пропорции Φ, которая называется «золотым сечением».
Кроме того, существует зависимость радиуса описанной вокруг равнобедренного треугольника окружности и сторонами этого треугольника. К сожалению, у меня на канале пока нет статьи на эту тему, поэтому привожу эту формулу без доказательства.
Проведем несложные преобразования и получим выражение, связывающее радиус описанной окружности и основание равнобедренного треугольника, причем это основание одновременно является стороной правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность.
Связь между стороной пентагона и радиусом описанной вокруг этой фигуры окружности мы получили. Теперь мы можем попытаться «нарисовать» эту зависимость.
Нарисуем произвольную прямую. Выберем на ней любую красную точку и построим черную окружность необходимого нам радиуса R с центром в красной точке. Эта черная окружность будет являться основой для пентагона. С помощью двух зеленых окружностей одинакового радиуса с центрами в зеленых точках начертим вспомогательную ось черной окружности.
Построим синюю окружность того же радиуса, что и черная, с центром в синей точке. Две точки пересечения синей и черной окружностей позволяют начертить еще одну прямую, которая пересекает исходную прямую в зеленой точке. Понятно, что зеленая точка делит отрезок, ограниченный синей и красной точками, ровно пополам. То есть расстояние между зеленой и красной точками равно половине радиуса R/2.
Построим зеленую окружность с центром в полученной зеленой точке и радиусом, указанным на рисунке. Используя теорему Пифагора легко получить численное значение радиуса зеленой окружности.
И, наконец, построим красную окружность с центром в красной точке и радиусом, указанным на рисунке. Чтобы не нарушать последовательность изложения, численное значение радиуса красной окружности я покажу ниже.
Пересечение красной и исходной черной окружностей дает нам две красных точки — вершины будущего правильного пятиугольника.
Используя радиус красной окружности и две полученных вершины пентагона, найдем расположение еще двух его вершин.
После этого последовательно соединим пять красных точек между собой. Правильный пятиугольник построен.
А теперь докажем, что мы получили правильный пятиугольник. Стороны этого пятиугольника равны радиусу красной окружности. Давайте вычислим этот радиус. Как и раньше, используем теорему Пифагора.
Мы доказали, что радиус красной окружности равен стороне правильного пятиугольника, построенного на черной окружности с радиусом R. Следовательно, все проведенные построения корректны и их можно использовать для построения пентагона.
Мы построили пятиугольник по заданному радиусу описанной окружности. А как начертить пентагон по его заданной стороне. Давайте разбираться.
Нарисуем произвольную прямую и отложим на ней красный отрезок длиной b, который равен стороне будущего правильного пятиугольника. Построим перпендикуляр к красному отрезку так, чтобы он разбивал его на две равных части.
Начертим синюю окружность с центром на левом конце красного отрезка и радиусом, равным длине этого отрезка b. Построим еще один перпендикуляр к исходному отрезку. В этот раз перпендикуляр пересекает отрезок в его левом конце. Понятно, что расстояние между двумя перпендикулярами равно b/2.
Теперь нарисуем зеленую окружность с центром в середине красного отрезка и радиусом, указанным на рисунке.
Нетрудно видеть, что радиус зеленой окружности легко определяется через длину красного отрезка с помощью теоремы Пифагора.
И, наконец, построим черную окружность, за центр которой примем правый конец красного отрезка, а радиус определим как расстояние от этого правого конца отрезка до точки пересечения зеленой окружности и исходной произвольной прямой. Понятно, что радиус черной окружности больше радиуса зеленой окружности ровно на половину длины красного отрезка.
Черная окружность пересекает синюю окружность и самый первый перпендикуляр в точках, которые обозначены на рисунке красным цветом. Это две вершины нашего пентагона в дополнение к двум вершинам, которыми являются концы красного отрезка.
Чтобы определить пятую вершину, нарисуем две дуги с центрами в двух вершинах пятиугольника и радиусами, равными длине стороны этой фигуры.
Последовательно соединим красные точки и получим пентагон.
Возникает вопрос, почему мы уверены, что красная фигура — это правильный пятиугольник.
Рассмотрим две черные диагонали этой фигуры. Каждая из них равна радиусу черной окружности, а точнее:
черные отрезки соотносятся с длиной исходного красного отрезка как среднеарифметическое корня квадратного из пяти и единицы. Напомню, такое соотношение называется «золотым сечением».
Серый треугольник равнобедренный, и его основание равно b, а углы треугольника 72, 72 и 36 градусов. Вывод: красная фигура — пентагон.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.