Полный перечень всех статей, опубликованных на канале: «Перечень статей на канале».
На канале есть видео на эту тему. Полный перечень видео, размещенных на канале, найдете здесь.
В этой статье я не буду рассказывать об истории данного вопроса. Не буду увлеченно описывать области применения «золотого сечения». Я попытаюсь максимально просто объяснить, что это за понятие.
Возьмем произвольный отрезок и разделим его на части любой выбранной на этом отрезке точкой. Единственное условие: эта точка не должна совпадать с концами отрезка. Мы получили три отрезка. Исходный отрезок и два меньших отрезка: красный отрезок длиной x и синий длиной y. Естественно, длина исходного отрезка равна сумме длин красного и синего отрезков.
А теперь попробуем разделить исходный отрезок таким образом, чтобы отношение его длины к длине одного из полученных отрезков было такое же, как отношение длин синего и красного отрезков. Другими словами, мы хотим, чтобы часть соотносилась с целым так же, как части этого целого соотносятся между собой. Этакое стремление к гармонии.
При равенстве красного и синего отрезков отношение их длин равно единице, а отношение длины исходного отрезка к длине каждой из частей равно двум. Следовательно, делить изначальный отрезок необходимо на неравные части. Впрочем, это было понятно сразу.
Поскольку мы ищем отношение целого к его части, естественно, что мы будем делить длину большего отрезка, например, синего, на длину меньшего отрезка, который обозначен красным цветом. А вот с каким отрезком мы будем сравнивать исходный отрезок, давайте разбираться.
Проанализируем, возможна ли ситуация, когда отношение длины синего большего отрезка к длине красного равно отношению длин первоначального и красного отрезков. Очевидно, что это невозможно. Выражение y/x меньше выражения (x+y)/x ровно на единицу.
А вот для равенства y/x = (x+y)/y решение существует. Чтобы упростить получение результата, примем длину исходного отрезка равной единице.
Если исключить вариант с отрицательным значением длины синего отрезка, то длина этого отрезка будет: квадратный корень из пяти минус единица разделить пополам. А искомое значение — это величина, обратная длине большего отрезка.
Вот это выражение и называется «золотым сечением». Принятое обозначение для него — греческая буква Φ (фи прописная). А принятое обозначение для длины большей части разделенного отрезка — φ (фи строчная).
Легко заметить, что Φ = 1 + φ или φ = Φ - 1. Но при этом Φ = 1/φ или φ = 1/Φ. Мы нашли число, которое связывает между собой операции деления и сложения. Найти такую связь само по себе уже было бы интересной задачей. Но более распространенная версия, зачем людям понадобилось искать это соотношение, заключается в построении правильного пятиугольника. Все-таки в древние времена математика и ее важная часть геометрия прежде всего являлись прикладными дисциплинами.
Чтобы построить правильный пятиугольник (пентагон), необходимо разделить окружность на пять равных частей. Нетрудно посчитать, что одна пятая часть полного оборота — это центральный угол размером 72 градуса. То есть древним людям необходимо было уметь строить угол такого размера с помощью линейки и циркуля. Как это делается, я покажу в другой статье, а сейчас мы рассмотрим соотношение длин сторон равнобедренного треугольника с углом при основании, равным 72 градусам.
У этого равнобедренного треугольника углы при основании равны 72 градусам, а третий угол, естественно, равен 36 градусам.
Построим биссектрису одного из углов при основании. Она разбивает исходный треугольник на два новых равнобедренных треугольника, потому что в каждом из этих треугольников два угла равны друг другу. В светло-сером треугольнике эти углы по 36 градусов, а в темно-сером — по 72.
Обозначим длину основания исходного треугольника a и длину боковой стороны b. Красные отрезки равны как боковые стороны светло-серого и темно-серого равнобедренных треугольников. При этом исходный треугольник и темно-серый треугольник подобны по равенству трех углов. В этом случае отношения длин боковой стороны и основания у этих треугольников равны. Тогда мы можем записать:
Приняв длину основания изначального треугольника за единицу, мы получим квадратное уравнение. Положительный корень этого уравнения (длина b не может быть отрицательной) приводит нас к результату, что в равнобедренном треугольнике с углами при основании, равными 72 градуса, боковая сторона больше основания в Φ раз. Вот так люди получили это соотношение.
Осталось выяснить, чему равно значение «золотого сечения». Вы, наверное, уже обратили внимание, что Φ — это фактически среднеарифметическое от 1 и √5. Квадратный корень из числа пять — число иррациональное, значит, «золотое сечение» — это бесконечная непериодическая дробь. Ее значение до пятого знака после запятой: Φ ≈ 1,61803, естественно, что φ ≈ 0,61803.
После того как это отношение целого к части, которая также соотносится со второй частью этого целого, было открыто, началась эпопея поиска этого соотношения в природе и продолжительная история применения этой пропорции в архитектуре, живописи, в инженерном деле, в общем, везде, где это возможно. В каких-то случаях использование «золотого сечения» оправданно, в каких-то совершенно лишнее. Можете исследовать этот вопрос самостоятельно, по этому поводу есть огромное количество материала.
На сегодня всё. Удачи вам. Дерзайте.
