Итак, продолжим спасение репутации гравитационной постоянной Ньютона (G). В предыдущей публикации «Как вернуть гравитационной постоянной Ньютона статус фундаментальной константы. Часть 1» был установлен истинный виновник «злоключений» этой величины, которым оказалось ускорение свободного падения (g). Указанное ускорение действительно проявляет себя периодически изменяющейся величиной, в чем можно убедиться, если исходить из предположения о гармонической переменности масс взаимодействующих тел, и учитывать влияние суточного вращения Земли.
Именно, благодаря вращению Земли вокруг своей оси, периодичность «колебаний» массы тел все-таки удается отследить, несмотря на огромную частоту процесса ее изменения. Сложно сказать, откуда берется периодичность продолжительностью несколько лет или месяцев, но суточная периодичность явно обязана своим существованием вращению Земли вокруг своей оси, вследствие которого сила, сообщающая телу ускорение свободного падения, периодически изменяется.
Во-первых, обратим внимание на то, что вследствие суточного вращения планеты, сила F, с которой Земля притягивает тело, лежащее на ее поверхности, имеет две составляющие. Статическую (постоянную) на данной географической широте φ (φ – угол в вертикальной плоскости между плоскостью экватора и прямой, проведенной из точки расположения тела (точки A) в центр земного шара) и динамическую, порождаемую вращением планеты. Первая из них проявляет себя в качестве веса тела P, то есть – через давление тела на опору. Вторая составляющая действует, как некая особая сила R (вращательная сила инерции), сообщающая телу центростремительное ускорение, направленное под углом φ к радиусу, проведенному из месторасположения тела к центру Земли.
Запишем уравнение относительного движения данного тела в гравитационном поле Земли с учетом ее вращения. Согласно ему, ускорение свободного падения на данной широте телу сообщает разность сил F и R (Ω‑угловая скорость вращения Земли, r – радиус окружности, лежащей на широте φ в горизонтальной плоскости параллельной плоскости экватора). С учетом того, что r= R0·cosφ (R0‑радиус Земли, 0 (на экваторе) < φ < π/2 (на полюсе)) находим, что в выражении для величины g(t), полученном в предыдущей части статьи, появляется дополнительное слагаемое, являющееся константой на данной широте:
Если пренебречь зависимостью массы тела от времени, то на произвольной широте φ ускорение свободного падения gφ будет равно (gp - ускорение свободного падения на полюсе):
Если перемещаться по меридиану в обратном направлении (от экватора к полюсу), то с переходом в более высокие широты центростремительное ускорение уменьшается, и величина g растет от минимального значения на экваторе (gq = 9,78 м/с·с) до максимального значения на полюсе (gp = 9,83 м/с·с). Таким образом, широтное изменение ускорения свободного падения в каждом из земных полушарий носит не зависящий от времени суток монотонный характер (в интервале 0 < φ < π/2):
Иначе говоря, учет широтной зависимости ускорения свободного падения в нашем поиске качественно ничего не меняет – огромная частота изменения ускорения по-прежнему никак себя не проявляет, оставаясь недоступной для обнаружения и, тем более, для прямого измерения.
Вот теперь поговорим о «во-вторых», в роли которого выступает общеизвестный факт того, что место нахождения тела на поверхности Земли описывают не одна, а две координаты. Кроме географической широты (угол φ), есть еще и географическая долгота (угол (θ) поворота радиуса r в горизонтальной плоскости параллельной плоскости экватора, отсчитываемый от плоскости условно нулевого меридиана).
Тело, покоящееся на поверхности Земли, вращается вместе с ней с угловой скоростью Ω, изменяющейся под действием вращательной силы инерции R, которая сообщает телу центростремительное ускорение (ac). Это ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов: тангенциального ускорения (at), направленного вдоль траектории движения тела по горизонтальной окружности на широте φ (по касательной к ней) и нормального ускорения (ap), направленного перпендикулярно траектории к центру окружности (по вектору R).
Суточное вращение Земли можно считать практически равномерным, происходящим с постоянной угловой скоростью Ω, но точки ее поверхности все-таки движутся с ускорением, поскольку изменяется направление их линейной скорости v. Поэтому центростремительное ускорение представляет собой нормальную составляющую полного ускорения точки при ее движении по криволинейной траектории, в частности по окружности.
Тангенциальное ускорение вызывает изменение только модуля угловой скорости и равно (τ – единичный касательный вектор, v – линейная скорость перемещения тела по окружности радиуса r):
Нормальная компонента ускорения изменяет лишь ее направление
(n – единичный нормальный вектор):
Эти ускорения телу сообщают соответствующие составляющие силы R: тангенциальная Rt и нормальная Rp.
Тогда уравнение относительного движения данного тела массой μ1 в гравитационном поле Земли (массой μ2 = μ20 = const, радиусом r = R0 = const) с учетом ее вращения (с угловой скоростью Ω), и при условии отсутствия других внешних сил, примет следующий вид:
Обозначим угол OAD в одноименном треугольнике буквой α. В сумме с углом θ он образует прямой угол и связывает центростремительную силу с ее составляющими следующим образом:
С учетом этих соотношений уравнение относительного движения данного тела преобразуется к следующему виду, позволяющему в итоге найти выражение для ускорения его свободного падения:
При подстановке условных значений в последнее выражение, можно убедиться, что по характеру изменения зависимость g(t) графически представляет собой высокочастотную (ω = ω1) синусоиду, модулированную по амплитуде низкочастотными (ω = Ω << ω1) периодическими изменениями вращательной силы инерции (второе слагаемое в выражении для ускорения свободного падения).
То есть зависимость ускорения свободного падения от долготы (угла поворота меридиана (0 ≤ θ ≤ 2π), на котором находится тело) оказывается периодической по времени, в силу того, что θ = Ωt. Иначе говоря, результат измерения ускорения определяется не только местом, но и временем выполнения этой процедуры (временем пересечения очередного меридиана телом, движущимся вместе с Землей, если считать сетку географических координат не участвующей во вращении планеты). Пока это все, окончание в третьей части статьи.