Наткнулся недавно на заочную полемику двух каналов на тему равенства числа 1 и 0,(9) - это самое доказательство, приведённое в учебнике алгебры 7 класса, показалось одному "новатору" неверным, а учитель с огромным стажем (с которым я, по ряду вопросов, сильно расхожусь во мнениях) высмеял его позицию. Оба правы в том, что в последнее время в образовании развелось очень много самозваных экспертов (например, я сам или оба этих автора) - и у всех таких "экспертов" куча регалий, которыми можно придать авторитетности их мнению, особенно когда самому мнению аргументов не хватает.
Полемика эта происходила три года назад. Разумеется, оба оппонента уверены в безграмотности друг и друга и призывают на голову друг друга всевозможные кары. У обоих хватает сторонников, которые пишут хвалебные комментарии на их канал, а вот критических практически нет, видимо - авторская цензура. Хотя иногда нет ничего полезнее, чем глупость противника под хорошим текстом.
Проблема дискуссии в том, что человек, не понимающий бесконечности, решил рассуждать про них с позиции Митрофанушки ("я не понимаю - а значит это неправда"), а не с позиции школьного учителя или методиста, которым себя мнит ("школьники не могут этого понять - возможно, не стоит им этого рассказывать"). При том, что вторая мысль может быть очень даже разумной. Но человек придерживается взгляда "я считаю так - значит это так", а такая постановка вопроса может вызывать только восторг, если читатель думает так же, и отвращение - в противоположном случае.
Бесконечные десятичные дроби
В школьном курсе математики существование чисел, которые не выражаются в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, впервые упоминается в 6 классе - там появляется число π, выражающее отношение длины окружности к диаметру. Но природа бесконечной даже периодической десятичной дроби - как и всякой прочей бесконечности - остаётся как бы "за кадром", потому что для понимания бесконечности требуется высокий уровень абстракции. У детей он развивается примерно в 12-14 лет (и то - не у всех).
Природа эта, на самом деле, достаточно проста, если владеть элементарнейшим математическим анализом (первый курс любого технического ВУЗа, да и того же педагогического): вещественное число - это сумма ряда, в котором может быть конечное количество ненулевых членов (тогда это конечная десятичная дробь), а может оказаться и бесконечное.
Страшное дело, а ведь десятичная дробь - это не панацея, бывает же и двоичная, и троичная - если бы мы с рождения не считали десятичную систему "естественной", мы бы могли не видеть между ними разницы.
И в этом определении (через сумму ряда) нет никаких сомнений, что десятичная дробь 0,(9) (как и двоичная дробь 0,(1), разумеется) равна 1. А вот если пытаться воспринимать десятичную (двоичную и т.п.) дробь просто как картинку (увы, но в школах именно так и происходит: многие ученики реально не понимают, что 0,6 и 6/10 - это два разных способа записи одного и того же числа, равно как и 0,(3) и 1/3 - это тоже просто два способа записи), то появятся новаторы и будут сочинять "парадоксы" на ровном месте.
Ничего особенно парадоксального в том факте, что 0,(9)=1, нет. Это ломает мозг школьнику, особенно если не рассказать ему толком, что такое 0,(9) - но ломать неправильно сросшийся мозг - так же, как и кости после перелома - попросту необходимо. Иначе вырастет из школьника такой "новатор", который пойдёт "открывать истину" следующим поколениям.
А ещё есть двоичная дробь - намного естественнее, чем десятичная. Школьники про неё не знают - в принципе, двоичная система счисления изучается в курсе информатики, но там всё ограничивается записью целых чисел. Рациональные - только десятичная запись, причём привычка укореняется настолько, что и 1/3 или 1/7 вызывает слёзы у десятиклассницы - ведь "там же бесконечная дробь..." и "я, наверное, где-то ошиблась". (В случае, когда речь о первой части ЕГЭ - да, ошиблась, там не бывает таких чисел - если только не сказано в задании, что ответ нужно будет округлить.)
Интересно, что про периодические десятичные дроби в школе говорят в том же 6 классе, что и про число π - и про то, что это самое число (почему-то) нельзя в виде (конечной или периодической) десятичной дроби представить, тоже. И что дальше, казалось бы? Создадим альтернативную математику, в которой числа 1 и 0,(9) не равны? Как у Тома Лерера - мы за анализ без дискриминации (кстати, если кто не знаком с творчеством этого прекрасного человека - послушайте его песни, не пожалеете!)
Бесконечность - она коварная, да, полностью осознать, как там всё устроено, не так просто, и периодически даже доктора физматнаук умудряются выдать такие опусы, что волосы встают дыбом - лет десять назад видел статью о том, что "нам врут о неравномощности рациональных и вещественных чисел" - человеку тоже бесконечность не далась, несмотря на то, что доктор и профессор, решил, что в доказательстве этой самой неравномощности (самом обычном конструктивном, от противного) увидеть неправду. Сейчас не смог найти ссылку - мечтаю, что это мне "привиделось, приснилось - случиться не могло..."
Хотя, глядя на описанный выше спор - буквально через мгновение слуга Фирсыч вынесет из-за кулис сардинницу, приговаривая, что "сардинки-то, наверное, вкусные"...