Дугинов Л. А. L.duginоv@ mail.ru
Ключевые слова: пример расчёта, система нелинейных уравнений, эквивалентная схема замещения, гиперболическая функция, линейные, квадратичные и степенные сопротивления, постоянный ток.
Введение
Проблему решения системы нелинейных уравнений, как известно, можно свести к поиску способа замены нелинейной системы на систему линейных уравнений, которая (при сохранении правых частей уравнений) путём замены всех коэффициентов в левой части уравнений на новые величины даёт (в результате итерационного процесса) правильные значения определяемых величин. Легко написать: найти способ замены нелинейной системы на линейную! Простейшая электромодель для гидравлического расчета кольцевых сетей при нелинейной зависимости потерь напора от расхода была предложена Кемпом и Хазеном ещё в 1934 г. Потребовалось почти 35 лет с момента начала первых попыток до 1970 годов, когда этот вопрос частично был решён и опубликован в статьях Коздобы Л.А. Для решения системы нелинейных уравнений, применяемых для описания гидравлических цепей, автор этих статей использовал электромодель на постоянном токе с линейными резисторами. Эта статья продолжает описание развития новых методов расчёта гидравлических и электрических схем на постоянном токе с нелинейными сопротивлениями (см. л. 1).
История вопроса
Почти одновременно в 1970-годах был разработан новый метод расчёта гидравлических схем с нелинейными сопротивлениями на электрическом столе с линейными резисторами. В это время автором данной статьи была выведена (независимо от других источников информации) иная итерационная формула для расчёта гидравлических схем на электрическом столе на линейных резисторах.
Для вывода этой формулы я написал систему, построенную на 2-х логически связанных уравнениях, первое из которых определяет падение напора на элементарном участке в случае степенной зависимости DH=f(q), а второе- в случае линейной зависимости ( в обоих случаях падения напоров на данном участке должны быть равны):
Из системы формул (1) и (2) получается две формулы (3 и 4) для расчёта итерационной формулы (линейного сопротивления):
Успешная работа программы на ЭВМ стала возможной только с формулами (3) или (4). В дальнейшем формула (3) стала всегда применяться и для расчётов нелинейных электрических схем как итерационная формула универсального метода расчёта. Разумеется, при проведении расчётов нелинейных электрических схем формула (3) должна быть заменена другую, которая выводится из системы 2-х уравнений, аналогичных уравнениям (1-2). Для случая гиперболических функций эти уравнения равны:
Для нелинейных резисторов Ro3-Ro13 применяется формула (11), аналогичная формуле (4):
Описание расчётной схемы
Ниже будет приведён пример расчёта электрической схемы (см. рис. 1), работающей на постоянном токе с нелинейными резисторами, на которых падение напряжения U от тока I: (U=f(I)) определяются следующими уравнениями (см. рис. 2) :
Рис.1 Электрическая схема, работающая на постоянном токе с нелинейными резисторами, где:
(Ro1-гиперболический синус, Ro2-гиперболический косинус и Ro3-Ro13- степенная (квадратичная) зависимость.
Схема с нелинейными резисторами Тоже с линейными сопротивлениями
Рис.2 Вольт-амперные характеристики нелинейных резисторов Ro1-Ro3
Для резкого сокращения объёма программы расчёта на Mathcad операторы программы написаны для формул в матричном виде.
Выводы:
- Как показывает опыт расчётов сложных электрических схем, если в основу алгоритма пересчёта нелинейных резисторов берутся формулы (7,10-11), всегда обеспечивается надёжный и быстрый итерационный процесс расчёта.
- В качестве начального приближения данный метод позволяет выбрать произвольно (не только в пределах ВАХ) величину начального тока для любого нелинейного сопротивления электрической схемы.
- Величину начального тока допускается выбрать одинаковой для всех (без исключения) нелинейных сопротивлений электрической схемы.
- Данная методика расчёта, разработанная для сложных электрических цепей, может быть использована при расчёте разветвлённых магнитных систем (постоянного тока) после соответствующей доработки c переходом на табличный метод задания данных для кривой намагничивания (см. л.9).
- Громадный опыт расчётов как электрических, так и гидравлических позволяет утверждать, что программы работающие по новому методу не имеют на данное время конкурентов по уровню и простоте метода решения задач. Это могло произойти только благодаря правильному пониманию и внедрению в практику расчётов понятия линейного сопротивления при выводе итерационных формул (3,4,7,10 и 11).
Литература
- Дугинов Л. А., Шифрин В. Л. и др. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
- Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972
- Дугинов Л. А. Пример расчёта по новому методу электрической цепи постоянного тока с разными типами нелинейных сопротивлений.,статья в Дзен-Студия, Про Гидравлику и Электротехнику, от 06 ноября 2023 года.
- Филиппов И. Ф. Теплообмен в электрических машинах. – М.: «Энергоатомиздат», 1986. – C. 204.
- Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. – М.: «Машиностроение», 1992
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1975.
- Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента» - М.: СОЛОН-Пресс,2005
- Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
- Дугинов Л.А. Расчёт сложных магнитных цепей на постоянном токе по программе Mathcad., Статья в Дзене «Про Гидравлику и Электрику» от 17 ноября 2022 года.
