– Постойте, мы не лучшим образом назначили расстановку воображаемых белых мух. – догадался Петя. – Давайте вычислять расстановку по биркам, возле которых паучок разворачивается. Нам важна не начальная привязка белых мух к расстояниям, кратным H, а неограниченное возрастание расстояния n-ой правой и аналогично n-ой левой белой мухи от НП с ростом n.
– Итак, – начала рассуждения Лариса, – в n-ом челночном цикле паучок добирается до бирки N(1,n), разворачивается, добирается до НП, затем до бирки –N(2,n), разворачивается и возвращается в НП. На весь цикл уходит время
где V – неизвестная нам скорость паучка. Время от начального момента до начала n-го челночного цикла равно
Пройденный паучком к началу n-го цикла путь (пробег по проволоке) равен L(n)A, где
Где должна быть в начальный момент n-ая справа белая муха, удирающая направо со скоростью (1–d(n))V, чтобы быть настигнутой паучком возле бирки N(1,n)? И где должна быть n-ая слева белая муха, удирающая налево со скоростью (1–d(n))V, чтобы быть настигнутой паучком возле бирки –N(2,n)?
– Пусть X(1,n)>0 – координата n-ой справа белой мухи в начальный момент, если отсчёт координат вести направо от НП с единицей измерения 1 м. – продолжил Петя. – В начале n-го челночного цикла координата становится равной
X(1,n)+P(n)(1–d(n))V
Паучок догоняет муху за время T(1,n)/2 от начала n-го цикла, приближаясь к ней со скоростью d(n)V. Таким образом
d(n)VT(1,n)/2=X(1,n)+P(n)(1–d(n))V
Откуда с учётом (17)–(19)
– Пусть –X(2,n)<0 – координата n-ой левой белой мухи в начальный момент. – продолжил Витя. – В середине n-го челночного цикла (в момент промежуточного возвращения паучка в НП) координата становится равной
–X(2,n)–(P(n)+T(1,n))(1–d(n))V
Паучок догоняет муху за время T(2,n)/2 от середины n-го цикла, приближаясь к ней со скоростью d(n)V. Таким образом
d(n)VT(2,n)/2=X(2,n)+(P(n)+T(1,n))(1–d(n))V
Откуда с учётом (17)–(19)
– Неизвестная нам скорость паучка везде сократилась. – продолжила Лариса. – Нам нужно так выстроить последовательности N(1,1), N(1,2), … и N(2,1), N(2,2), … , чтобы X(1,1), X(1,2), ... и X(2,1), X(2,2), … были последовательностями неограниченно возрастающих величин. Тогда для любой реальной чёрной мухи отыщется такая пара воображаемых белых, что каждая из них 1) дальше от НП в начальный момент, чем чёрная, 2) ползает быстрее чёрной и 3) настигается паучком возле одной из бирок, где он разворачивается.
– Не будем умничать, оставляя много вариантов для скоростей белых мух. – предложил Петя. – Для простоты выкладок возьмём d(n)=1/(n+1) и попробуем добиться X(1,n)=X(2,n)=nA, чтобы заодно избавить паучка от необходимости знать величину A.
Он что-то почиркал на листке бумаги и доложил:
– Тогда из формул (19)–(21) получаются следующие формулы для N(1,n) и N(2,n):
– Величины N(1,n), N(2,n), L(n+1) растут очень быстро. – заметила Лариса, поработав с калькулятором. – В первом челночном цикле N(1,1)=2, N(2,1)=6, L(2)=16, во втором N(1,2)=38, N(2,2)=190, L(3)=472, в третьем N(1,3)=1428, N(2,3)=9996, L(4)=23320.
– Ответ не единственный из возможных. – добавил Витя. – Если бы мы выбрали другие выражения для d(n), X(1,n), X(2,n), то получили бы другие формулы вместо (22)–(24). Выбирая d(n), X(1,n), X(2,n), паучок может проявить свою индивидуальность.
– Браво! – сказал растроганный Дум Думыч и разложил на столе конверты, заготовленные три года назад.
– Ещё три свидания с бесконечностью. – пояснил учитель.
Задача № 2, доставшаяся Пете.
Имеется множество пронумерованных прямых с общей точкой пересечения, не обязательно конечное. По прямым ползают мухи, не мешая друг другу. Свою прямую муха не покидает. На точку пересечения прямых прыгает паучок, различающий номера прямых и направления вправо-влево на каждой прямой. Через эту точку он может перебегать с одной прямой на другую. На лапке у него часики. Его скорость больше, чем у любой мухи, но разница может быть сколь угодно малой. Паучок свою скорость не знает и далеко не видит. Мухи от него удирают. Может ли он догнать всех мух?
Задача № 3, доставшаяся Вите.
Плоскость разбита сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на клетки размером 1 м на 1 м. Среди этих прямых обе координатные оси. Единица измерения по каждой оси 1 м. По прямым ползают мухи, каждая по своей прямой. Паучок запрыгивает в начало координат и может бегать по всем прямым, перебегая с одной на другую через точки их пересечения. На лапке у него часики и он знает свою скорость. Скорость у него больше, чем у любой мухи, но разница может быть сколь угодно малой. Он различает прямые по координатам точек их пересечения с координатными осями, различает направления вправо (рост одной из координат) и влево (убывание одной из координат) на каждой прямой, но далеко не видит. Мухи от него удирают. Может ли он догнать всех мух?
Задача № 4, доставшаяся Ларисе.
По плоскости стелется конструкция из отрезков, напоминающая поваленное дерево с обилием веток. Из корня исходит 1 «побег» нулевого уровня. Каждый «побег» n-го уровня ветвится на M(n)>1 «побегов» n+1-го уровня. Суммарная длина «побегов» каждого уровня равна R м, причём все они равны по длине. По «побегам» ползают мухи, не мешая друг другу. Каждая когда-то стартовала из корня «дерева». Двигаться вспять мухе запрещено. При переходе с «побега» n-го уровня на «побег» n+1-го уровня муха уменьшает свою скорость в M(n) раз. Скорость мухи на «побеге» нулевого уровня (стартовая скорость) меньше W м/с. При этом разница может быть сколь угодно малой. В некоторый момент на корень «дерева» запрыгивает паучок. Он может носиться в любом направлении по всем «побегам», различая их. Его скорость в C раз больше W. Существует ли такое C, при котором паучок сможет догнать всех мух?
Во время вытягивания конвертов у Дум Думыча был ещё один гость, сверстник трёх друзей. Звали его Вася. Понаблюдав за происходящим, Вася захотел себе тоже задачку про паучка.
– На мой взгляд, – сказал Вася, – если дать каждой мухе возможность маневрировать при приближении паучка, покидая линию, по которой он несётся, то хотя бы некоторые смогут увернуться от него.
Дум Думыч подумал, подумал и достал ещё один конверт.
Задача № 5, доставшаяся Васе.
Плоскость разбита сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на клетки размером 1 м на 1 м. Среди этих прямых обе координатные оси. Единица измерения по каждой оси 1 м. По прямым ползают мухи. Каждая муха стартовала в своё время из начала координат. Её стартовая скорость была меньше некоторой величины W (м/с). Разница могла быть сколь угодно малой. При r=1,2,... муха, достигнув границы квадрата с вертикальной стороной 2r (м) и центром в начале координат, приобретает скорость, уменьшенную по сравнению со стартовой в 1+r раз. Внутрь каждого такого квадрата муха не возвращается. До достижения границы следующего такого квадрата величина скорости мухи не меняется. При этом мухе разрешено переползать с одной прямой на другую через точки их пересечения. Движение вспять для мухи запрещено. Паучок запрыгивает в начало координат и может бегать по всем прямым, перебегая с одной на другую через точки их пересечения, различая эти точки по их координатам. Его скорость в C раз больше W. Существует ли такое C, при котором паучок сможет повстречать всех мух?