175 подписчиков

Новый метод расчёта электрических схем на постоянном токе с нелинейными резисторами

20 декабря 202320 дек 2023

7 мин

Дугинов Л. А. L.duginov@mail.ru

Ключевые слова: пример расчёта, система нелинейных уравнений, эквивалентная схема замещения, линейные, квадратичные и степенные сопротивления.

Введение

Проблему решения системы нелинейных уравнений, как известно, можно свести к поиску способа замены нелинейной системы на систему линейных уравнений, которая (при сохранении правых частей уравнений) путём замены всех коэффициентов в левой части уравнений на новые величины даёт (в результате итерационного процесса) правильные значения определяемых величин. Легко написать: найти способ замены нелинейной системы на линейную! Простейшая электромодель для гидравлического расчета кольцевых сетей при нелинейной зависимости потерь напора от расхода была предложена Кемпом и Хазеном ещё в 1934 г. Потребовалось почти 35 лет с момента начала первых попыток до 1970 годов, когда этот вопрос частично был решён и опубликован в статьях Коздобы Л.А. Для решения системы нелинейных уравнений, применяемых для описания гидравлических цепей, автор этих статей использовал электромодель на постоянном токе с линейными резисторами.

История вопроса

В 1972 году в книге Коздобы Л.А. л.(3) была опубликована итерационная формула:

Т. е. автор предлагал усреднять значения при соседних итерациях, так как в противном случае, итерационный процесс зацикливался уже после 3-й итерации. С небольшой разницей аналогичные формулы были предложены рядом авторов уже в 2000-2005 годах. Для процесса усреднения они использовали в формуле (1) не коэффициент 2, а другие, вычисленные "особым способом", для ускорения процесса расчёта см.(3).

Почти одновременно в 1970-1972 годах автором данной статьи была выведена (независимо от других источников информации) иная итерационная формула тоже для гидравлического расчёта на электрическом столе на линейных сопротивлениях (резисторах). Для вывода этой формулы я написал систему, построенную на 2-х логически связанных уравнениях, первое из которых определяет падение напора на элементарном участке в случае степенной зависимости DH=f(q), а второе- в случае линейной зависимости ( в обоих случаях падения напоров на данном участке должны быть равны):

Из системы формул (3) и (4) получается две формулы (5 и 7) для расчёта итерационной формулы (линейного сопротивления):

А также формула (7), уже известная по книге Коздобы Л.А. как формула (2), применяемая для расчёта итерационной формулы (1):

Кстати, формула (7) изначально была мною забракована для работы на расчётном электрическом столе просто по причине необходимости замерять ток в ветви (расход) с отключением ветви от схемы, в то время как формулы (5) и (6) требовали только замеры падений напряжений (напоров) без отключения ветви, что было гораздо быстрее и удобней. О том ,что формула (7) приводит к зацикливанию процесса расчёта стало известно только в 1972 году, когда эту формулу (7) пытались включить в программу расчёта на ЭВМ Минск-32. Успешная работа программы на ЭВМ стала возможной только с формулами (5) или (6). В дальнейшем формула (5) стала успешно применяться и для расчётов электрических нелинейных схем как итерационная формула универсального метода расчёта. Если бы в 1970-х годах работал современный интернет, я думаю, что получив формулу (5) вряд ли кто-нибудь продолжал работать над усовершенствованием методики на базе формулы (7).

Сравнительные расчёты электрической схемы с нелинейными резисторами по двум итерационным формулам (5) и (7)

Цель расчётов - проверить работоспособность двух программ при расчёте одной и той же схемы электрической схемы с нелинейными резисторами с одинаковыми исходными данными, но с разными итерационными формулами (5) и (7). На рисунке 1 приведена электрическая схема замещения с разными нелинейными сопротивлениями Ro1-Ro5 и Ro6-Ro13 и её аналог с линейными сопротивлениями соответственно RL1-RL5 и RL6-RL13. Падение напряжения DU на нелинейных сопротивлениях Ro1-Ro13 определяется формуле: DUi = Roi*Ii^ni, а на линейных сопротивлениях RL1-RL13 по формуле: DUi = RLi*Ii. Величины всех сопротивлений Ro1-Ro13 и соответственно величины степени ni показаны ниже в таблице распределения показателей степеней по сопротивлениям.

Рис.1 Расчётные "степенные" и "линейные" электрические схемы

На рисунке 2 приведены две вольт-амперные характеристики для сопротивлений Ro1-Ro5=4 ома и для сопротивлений Ro6-Ro13=12 ом

Рис.2 Вольт-амперные характеристики для сопротивлений Ro1-Ro5 и Ro6-Ro13

Показатель степени ni в отличии от методик, основанных на итерационной формуле (1-2), не имеет ограничения ( ni< 7, см. л.3) и как показывает практика расчётов показатель степени ni может значительно превышать ni=10, взятую в данном расчёте.

Для расчёта нелинейных электрических схем (по аналогии) на базе формул (3-4) была составлена система уравнений (8-9) из которой выведена итерационная формула (10):

Распечатка программы расчёта на Matchcad-15 электрической схемы с нелинейными сопротивлениями, показанной на рис. 1 (по "новому" методу расчёта с итерационной формулой (10) без усреднения величины тока Ik по двум соседним итерациям).

Как видно из прилагаемых выше 4-х таблиц распечатки результатов расчёта при степенях n=5 для ветвей № 1-5 и n=10 для ветвей № 6-13 величины тока Ik на всех участках схемы практически не менялось после 10-й итерации-i.

Распечатка программы расчёта на Matchcad-15 электрической схемы с нелинейными сопротивлениями, показанной на рис. 1 (по "старому" методу расчёта, с итерационной формулой (7) + усреднение величины тока Ik по двум соседним итерациям).

Как видно из прилагаемых выше 4-х таблиц распечатки результатов расчёта при степенях n=5 для ветвей № 1-5 и n=10 для ветвей № 6-13 величины тока Ik на всех участках схемы хаотично изменялись после 10-й итерации-i. Программа расчёта по "старому" методу с такими величинами степеней не работает!

Комментарии по результатам 2-х сравнительных расчётов по "новой" и "старой" методам.

Исходные данные к обоим расчётам взяты совершенно одинаковыми, поэтому приводятся они один раз как общие данные. Программы расчётов, выполненные в матричной форме (для сокращения объёма распечатки) тоже одинаковые за исключением итерационных формул. Для расчёта по "новому" методу используется формула (10), а по "старому" методу используется формула (7) + усреднение величины тока Ik по двум соседним итерациям). Все эти изменения показаны в 4-х последних операторах программы по "старому" методу, что привело к увеличению её объёма с 7 до 9 операторов.
Показатель степени n по "новому" методу не имеет ограничений по его величине и как показывает практика расчётов может значительно превышать n=10, взятую в данном расчёте. При этом не имеет значения целая величина степени n или дробная и количество итераций не зависит от величины исходных данных для 1-ой итерации.
Показатель степени n по "старому" методу работает в программе при целой величине в диапазоне от 1 до 3, а при дробной величине n только в диапазоне от 1 до 2. При этом количество итераций начинает увеличиваться по мере удаления их от расчётной зоны. В связи с чем применение "старого" метода для расчёта электрических с нелинейными элементами очень ограничено.
Громадный опыт расчётов как электрических, так и гидравлических позволяет утверждать, что программы работающие по "новому" методу не имеют на данное время конкурентов по уровню и простоте метода решения задач. Это могло произойти только благодаря правильному пониманию и внедрению в практику расчётов понятия линейного сопротивления при выводе итерационной формулы (10).

Выводы:

Как показывает опыт расчётов сложных электрических схем, если в основу алгоритма пересчёта нелинейных сопротивлений берутся формулы (5-6), всегда обеспечивается надёжный и быстрый итерационный процесс расчёта.
В качестве начального приближения данный метод позволяет выбрать произвольно (не только в пределах ВАХ) величину начального тока для любого нелинейного сопротивления электрической схемы.
Величину начального тока допускается выбрать одинаковой для всех (без исключения) нелинейных сопротивлений электрической схемы.
Данная методика расчёта, разработанная для сложных электрических цепей, может быть использована при расчёте разветвлённых магнитных систем (постоянного тока) после соответствующей доработки c переходом на табличный метод (см. л.9).

Литература

Дугинов Л. А., Шифрин В. Л. и др. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972
Мызников А. М. Моделирование и идентификация параметров сложных гидравлических сетей: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук: – Тюмень, 2005.
Филиппов И. Ф. Теплообмен в электрических машинах. – М.: «Энергоатомиздат», 1986. – C. 204.
Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. – М.: «Машиностроение», 1992
Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1975.
Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента» - М.: СОЛОН-Пресс,2005
Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
Дугинов Л.А. Расчёт сложных магнитных цепей на постоянном токе по программе Mathcad., Статья автора «Про Гидравлику и Электрику» в Дзене от 17 ноября 2022 года.