Задание
Тетраэдр, у которого все рёбра имеют одинаковую длину, называется правильным, и он обладает следующими свойствами:
а) все четыре грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками, равными между собой;
б) любая его высота пересекает грань в точке, равноудалённой от каждого из рёбер этой грани;
в) внутри тетраэдра есть точка, которая равноудалена от его вершин и является точкой пересечения высот тетраэдра.
Найти косинус угла, вершина которого находится в точке пересечения высот тетраэдра, а стороны проходят через любые две его вершины.
Решение
Вариант 1
Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD, в котором О – точка пересечения его высот. По условию задачи достаточно будет найти косинус ∠BOD. Для удобства обозначим длину ребра тетраэдра как a, а величину ∠BOD – как α. Опустим из вершины D высоту на грань ABC. Она пересечёт её в точке E (рис. 1).
Выразим через a величину отрезка BE, для этого отдельно рассмотрим △ABC, в котором из точки E опустим перпендикуляры EN и EM на стороны AB и BC соответственно (рис. 2).
Точка E равноудалена от граней △ABC (EN = EM), а поскольку он является равносторонним, то это означает, что E является ещё и точкой пересечения биссектрис углов такого треугольника, каждый из которых равен 60º. Отсюда следует, что BE является биссектрисой для ∠NBM и таким образом ∠EBN = 30º. В этом случае в прямоугольном треугольнике △BEN: EN = BE / 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения биссектрис, медиан и высот совпадают (как и сами биссектрисы, медианы и высоты), из этого следует, что BN= AB / 2 = a / 2 (отрезок EN лежит на высоте из вершины C к стороне AB). В соответствии с теоремой Пифагора для △BEN можно записать:
BE² = EN² + BN²
или
Отсюда можно получить, что
Рассмотрим теперь другой треугольник, а именно △BED (рис. 3).
По условию задачи в нём DO = BO. Обозначим длину этих отрезков как x. В этом случае
DE = x + EO
Так как DE – высота, то △BEO и △BED прямоугольные, поэтому в соответствии с теоремой Пифагора можно записать:
BO² = BE² + EO²
BD² = DE² + BE²
или
Из последнего выражения можно выразить величину DE:
Найдём теперь EO:
после чего подставим полученное равенство в соотношение для △BEO:
Раскрыв квадрат разности, после упрощения можно получить, что
или
В соответствии с теоремой косинусов для △BDO:
a² = x² + x² – 2·x·x·cos α
или
a² = 2x² – 2x²·cos α
Отсюда
Вариант 2
Рассмотрим куб с длиной ребра b и введём декартову систему координат так, чтобы одна вершина куба совпала с началом координат, а три ребра, сходящиеся в этой вершине, лежали на координатных осях, причём в области их положительных значений (рис. 4).
Выберем четыре вершины куба A, B, C, D и соединим их отрезками (диагоналями граней куба) так, как это показано на рисунке. Поскольку все грани куба – равные между собой квадраты, то диагонали граней также равны между собой (AB = AC = AD = BC= BD = CD), из чего следует, что тело ABCD является правильным тетраэдром.
Пусть точка O – центр симметрии куба, следовательно она равноудалена от его вершин и граней. Это означает, что она равноудалена и от вершин тетраэдра ABCD, то есть является точкой пересечения его высот. Обозначим ∠BOD как α и найдём cos α.
Рассмотрим векторы
Так как точки B, D, O имеют координаты
соответственно, то у названных векторов координаты будут следующими:
Угол между этими векторами есть ∠BOD, его косинус (cos α) можно найти из длин векторов и их скалярного произведения:
Ответ
–⅓
Комментарий
Задача имеет отношение к органической химии, а именно – к геометрии молекулы метана CH₄ : центральное положение в ней занимает атом углерода в состоянии sp³-гибридизации, из-за чего атомы водорода располагаются в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому угол между направлениями связей C–H там составляет величину arccos(-⅓) ≈ 109,47°, как раз и приводящуюся в учебниках.
Список других задач, имеющихся на канале, можно посмотреть здесь.
Перечень публикаций на канале
