Решение задач с помощью систем уравнений
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вам повторить решение задач с помощью систем уравнений способом подстановки на примере задач № 1106, 1107 и 1108 из 8-го издания учебника по алгебре для 7-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А Теляковского.
Задача 1106
Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад – в 5 раз?
Решение:
Пусть брату сегодня x лет, а сестре – y лет. По условию задачи 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, поэтому 2 * ( y – 2) = x – 2.
Известно, что 8 лет назад брат был старше сестры в 5 раз. Значит 5 * ( y – 8 ) = x – 8.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения x и y, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе:
Решить эту систему можно либо способом подстановки, либо способом сложения.
В данном случае более удобен способ подстановки, так как из первого уравнения сразу видно, что x = 2y – 2. Подставив это значение во второе уравнение системы, получим уравнение с переменной y:
5y – 40 = 2y – 2 – 8,
3y = 40 – 10,
3y = 30,
y = 10 лет сестре.
Подставив в равенство x = 2y – 2 вместо y число 10, найдём соответствующее значение x.
x = 2 * 10 – 2,
x = 18 лет брату.
Ответ: брату 18 лет, а сестре – 10 лет.
Задача 1107:
Два автомата изготавливают детали. Число деталей, изготовленных первым автоматом за три часа и вторым за 2 часа составляет 720 штук. Четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 часа, составляет 150 штук. Сколько деталей изготовлял каждый автомат за 1 час?
Решение:
Пусть первый автомат изготовлял за 1 час x деталей, а второй – y деталей. По условию задачи число деталей, изготовленных первым автоматом за три часа и вторым за 2 часа составляет 720 штук, поэтому 3x + 2y = 720.
Известно, что четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 часа, составляет 150 штук. Значит 2x + 2y = 600.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения x и y, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе:
Если умножить все члены второго уравнения на – 1, а первое оставить без изменений, то коэффициенты при y станут противоположными числами и почленное сложение приведёт даже не к уравнению, а сразу к нахождению значения x: x = 120.
Фактически, мы просто из первого уравнения вычли второе и для нахождения y теперь можем подставить вместо x число 120 в любое из уравнений системы. Для решения я выбираю второе уравнение:
2 * 120 + 2y = 600,
240 + 2y = 600,
2y = 600 – 240,
2y = 360,
y = 180.
Ответ: первый автомат за час выпускает 120 деталей, а второй – 180 деталей.
Задача 1108:
За 4 часа езды на автомашине и 7 часов езды на поезде туристы проехали 640 км. Какова скорость поезда, если она на 5 км/ч больше скорости автомашины?
Решение:
Пусть скорость поезда будет x км/ч, а автомашины – y км/ч. По условию задачи за 4 часа езды на автомашине и 7 часов езды на поезде туристы проехали 640 км, поэтому 7x + 4y = 640.
Известно, что скорость поезда на 5 км/ч больше скорости автомашины. Значит x – 5 = y.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения x и y, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе:
Эту систему проще решить способом подстановки, так как во втором уравнении y выражен через x. Подставив в первое уравнение вместо y выражение x – 5, получим уравнение с одной переменной:
7x + 4 * (x – 5) = 640,
7x + 4x – 20 = 640,
11x = 640 + 20,
11x = 660,
x = 660 : 11,
x = 60 км/ч скорость поезда
Ответ: скорость поезда 60 км/ч.